中央财经大学2007-2008学年微积分（上 A类）试卷

中央财经大学

2007-2008学年第一学期期末试卷

姓名 专业 学号

一、单项选择题（每小题3分，共18分）

?x2; x?11. 设函数f?x???在x?1处可导，则（ ）

?ax?b;x?1 A. a?0,b?1 B. a?2,b??1 C. a?3,b??2 D.a??1,b?2

f?x?1?cosx2. 已知f?x?在x?0的某邻域内连续，且f?0??0,limf?x?满足（ ）

x?0?2，则在x?0处

A. 不可导 B. 可导 C. 取极大值 D. 取极小值 3. 若广义积分? ?? 2dxx?lnx?k收敛，则（ ）收敛就是有极限

A. k?1 B. k?1 C. k?1 D. k?1

14. limex?1?(x??1)注意哦，趋于正无穷和负无穷的极限是不一样的哦 所以不存在

A． 0 B.? C.不存在 D.以上都不对 5. 当x?0时，1?cosx是关于x2的（ ）.

A．同阶无穷小. B．低阶无穷小. C．高阶无穷小. D．等价无穷小. 6.函数f(x)具有下列特征：f(0)?1,f?(0)?0，当x?0时，f?(x)?0,f??(x)?则f(x)的图形为（ ）。 (A) (B) (C) (D)

1

??0,x?0??0,x?0

y y y y 1 o o 1 o 1 o 1 x x x x 二、填空（每小题3分，共18分）

1.

limx??sinxx? 。

2.

?1?121?xdx? 。

用几何意义啊 半圆 计算很傻！！ 3. 已知f?(x0)存在，则limh?0f(x0?h)?f(x0?h)h? 。

4．设y?ln(x?1)，那么y(n)(x)? 。 5．

ddx?0xedt? 。 2t26．某商品的需求函数Q?75?P2，则在P＝4时，需求价格弹性为?EREPP?4P?4? ，收入对价格的弹性是? 。注意！！?P?4?这个是带了绝对值的 定义不

能忘啊！！

三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分） 1．limx???x0arctantdtx?12

?1?x?2． lim??x??x??2x

3．?xlnxdx

1e 4．?dxx(1?x)6

2

5．求由?etdt? 0 y? x 0costdt?0所决定的隐函数y?y?x?的导数

dydx.

6．已知

7．求由曲线y?x3与x?1,y?0所围成的平面图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积。

8．求曲线y?x与直线y?kx?1所围平面图形的面积，问k为何时，该面积最小？

四、(A类12分) 列表分析函数y?函数图形。

解：(1) 函数的定义域D:(??,?1)?(?1,??)，无对称性； (2) y??x?2x(1?x)222sinxx是f(x)的原函数，求?xf?(x)dx。

x21?x函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出

?0,得x1??2,x2?0

22y???(2x?2)(1?x)?2(x?2x)(1?x)?1?x?4?2(1?x)3

(3) 列表：

3

x y' y\ y (-∞，-2) ＋ － ↗,∩ -2 0 － （-2，-1） （-1，0） － － － ＋ ↘,∪ 0 0 ＋ 极小值0 (0,+∞) ＋ ＋ ↗,∪ 极大值-4 ↘,∩ (4) 垂直渐近线：x??1；斜渐近线：y?x?1 (5) 绘图，描几个点(?2,?4),(0,0),(1,),(2,) 2314y

o x

(B类12分)列表分析函数y?ln(1?x2)函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。

解： ⑴ 函数定义域D:(-∞，+∞)，偶函数关于Y轴对称； ⑵ y??2x1?x2?0,得x?0

2

y???2(1?x)?2x?2x?1?x?22?2(1?x)(1?x)(1?x)22?0,得x1??1,x2?1

⑶ 列表：(只讨论（0,+∞）部分) (1,+∞) x 0 (0,1) 1

＋ ＋ ＋ y' 0

＋ ＋ － y\ 0

极小值 ↗,∪ 拐点 ↗,∩ y

极小值f (0) = 0；拐点（1,ln2） ⑷ 该函数无渐近线；

⑸ 绘图，描几个点：（0，0），（-1，ln2），（1，ln2）

y o x

4