04 第四节 曲面及其方程

第四节 曲面及其方程

分布图示

★ 曲面的定义 ★ 例1

★ 例3 ★ 例4

★ 研究空间曲面的两个基本问题 ★ 旋转曲面 ★ 例6

★ 柱 面 ★ 常用柱面 ★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题7-4 ★ 返回

★ 例2 ★ 例5 ★ 例7

内容要点

空间曲面研究的两个基本问题是：

1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; 2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.

一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面

例题选讲

曲面方程的概念

例1 (E01) 建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面方程. 解 设M(x,y,z)是球面上任一点，根据题意有

|MM0|?R,(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R

?

(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2

特别地:球心在原点时方程为 x2?y2?z2?R2.

例2 (E02) 求与原点O及M0(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解 设M(x,y,z)是曲面上任一点，根据题意有

x2?y2?z2|MO|11?, 即?,

|MM0|2(x?2)2?(y?3)2?(z?4)222?4?116??2. 所求方程为?x????y?1???z???3?3?9??22

例3 已知A(1,2,3), B(2,?1,4), 求线段AB的垂直平分面的方程. 解 设M(x,y,z)是所求平面上任一点，根据题意有|MA|?|MB|,

(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?(x?2)2?(y?1)2?(z?4)2,

化简得所求方程 2x?6y?2z?7?0.

例4 (E03) 方程x2?y2?z2?2x?4y?0表示怎样的曲面？ 解 对原方程配方，得 (x?1)2?(y?2)2?z2?5, 所以，原方程表示的球心在M0(1,?2,0)、半径为R?5的球面方程.

例5 方程z?(x?1)2?(y?2)2?1的图形是怎样的? 解 根据题意有z??1,用平面z?c去截图形得圆:

(x?1)2?(y?2)2?1?c(c??1),

当平面z?c上下移动时，得到一系列圆，圆心在(1,2,c),半径为1?c, 半径随c的增大而增大.图形上不封锁，下封底.

旋转曲面

x2z2例6 (E04) 将xOz坐标面上的曲线2?2?1分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生

ac成的旋转曲面的方程.

解 绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为

x2?y2z2?2?1, a2c这个旋转曲面称为旋转单页双曲面. 绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 x2y2?z2??1. 22ac这个旋转曲面称为旋转双页双曲面.

例7 (E05) 直线L绕另一条与L相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角?(0????2)称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z轴, 半顶角为?的圆锥面方程.

解 yOz面上直线方程为L:z?ycot?,注意到旋转轴为z轴，有

d??x2?y2,

锥面方程为

z??x2?y2cot? 或 z2?a2(x2?y2)(a?cot?).

课堂练习

1. 求与z轴和点A(1,3,?1)等距离的点的轨迹方程.

?y2z2???12. 指出方程?9所表示的曲线. 4?x?3?0?