毕业论文（设计）-正项级数敛散性的判别法

limn(1?n??an?11?3????(2n?1)2?4?????(2n)?(2n?1)?] )=limn[1?n??2?4?????(2n?2)?(2n?3)1?3?????(2n?1)an=limn??n(6n?5)3??1

(2n?2)(2n?3)2所以由拉贝判别法知此级数收敛.

2.5积分判别法

定理5 设g为[1,??]上的非负减函数，那么正项级数?g(n)与反常积分?同时收敛或发散.

证 由假设g为[1,??]上的非负减函数，对任何正数A，g在[1,A]上可积，

??1g(x)dxg(n)??g(x)dx?g(n?1),(n?2,3???)

n?1n依次相加可得

m?2?g(n)??mmm1g(x)dx??g(n?1)??g(n) （7）

n?2n?1mm?1若反常积分收敛,则由（7）式左边，对于任何正整数m，有 Sn??g(n)?g(1)??g(x)dx?g(1)??n?11m??1g(x)dx

根据定理正项级数收敛的充要条件可知，级数?g(n)收敛;反之，若?g(n)收敛级数，则由（7）式右边，对于任何正整数m（?1），有

?m1g(x)dx?Sm?1??g(n)?s （8）

因为g(x)为非负减函数，故对于任何正整数A，都有

0??g(x)dx?Sn?s,n?A?n?1

1A由（8）式及定理（设定义在[a,??)上的两个函数f(x)和g(x)都在任何有限区间[a,u]上可积，且满足f(x)?g(x),x?[a,??)，则当?者当???a??ag(x)dx收敛时，???1??af(x)dx必收敛，或

f(x)dx发散时，???1??ag(x)dx必发散）知，反常积分?g(x)dx收敛;用同样的方

法可证明 ?g(n)与 ?g(x)dx 是同时发散的.

5

例5 用积分判别法判别级数?解 （1）设g(x)?1n和的敛散性. ?22n?1n?11，则g(x)在[1,??)上为非负减函数，而 x2?1??dx???11?x24

1故由积分判别法知?2收敛.

n?1x（2）设g(x)?2,则g(x)在[1,??]上为非负递减函数，而

x?1??x?11?x2dx???

??xndx由?发散，于是由积分判别法知发散. ?211?x2n?13 主要结论 3.1微分判别法

定理6 设?f(n)为正项级数，f(x)为正的连续的可导函数，令

n?1??d1[]?g(x)，dxf(x)存在常数a?0， 若

(i)x足够大时，成立不等式x?f?g?1?a （9）,则正项级数?f(n)收敛.

n?1??(ii)x足够大时，成立不等式x?f?g?1 （10）,则正项级数?f(n)发散.

n?1??f'(x)证 (i) 由（9）式有 x?f(x)?g(x)??x??1?a

f(x)f'(x)1?a即 ? ?f(x)x两边取定积分得 ??xx1?af'(x)dx??dx，

1f(x)x1即 ?lnf(x)?lnf(1)?(1?a)?lnx 得 f(x)???f(1)f(1)f(n)?，因此有 1?a1?axn??f(1)而级数?1?a是收敛的，所以?f(n)收敛 （由比较原则知）

n?1nn?16