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性质：① a?b?b?a ② (a?b)?c?a?c?b?c ③ m(a?b)?(ma)?b?a?(mb) ④ a?a?a?a ⑤ (a?b)?(a?b)?a?b ⑥ (a?b)?a?2a?b?b ?arccostt?0??? ?③ 向量的夹角?： [0, ? ]（注意起点重合）， cos???t????t?0 ?a?b?2????arccostt?02222222a?b④ 向量的运算与实数运算有区别：等式两边能同时约去一个向量吗？；向量满足的乘法结合律吗？（即a?(b?c)?(a?b)?c）。切记向量不能相除。
4．线段的定比分点公式记住了吗？?的取值与定比分点P和P1P2的位置有何关系？
ⅰ、中点公式以及重心公式你还记得吗？ⅱ、在利用定比分点解题时，你注意到???1了吗？ 5．平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不平行的向量，那么对于这个平面内的任意向量a，有且只有一对实数?1、?2，满足a??1e1??2e2。 6．函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系！
例1．按向量a把点?2,?3?平移到?1,?2?，则按向量a把点??7,2?平移到点
例2．函数y?sin2x的图象按向量a平移，得到函数的解析式是y?cos2x?1，则a?
7．向量坐标：
平 面 向 量 空 间 向 量(理) a??x,y??xi?yj x,y?R a?x2?y2 若a?x1i?y1j； b?x2i?y2j 则：a?b?a??x,y,z??xi?yj?zk x,y,z?R a?__________________ 若a?x1i?y1j?z1k； b?x2i?y2j?z2k ?___________ ??___________则：a?b??x1?x2??y1?y2 ?z?z2?1若a??x,y?，则：?a???x,?y? 若a??x,y,z?，则：?a?_____ 21
若非零向量 a?x1i?y1j；x1,y1?R 非零向量 b?x2i?y2j；x2,y2?R 非零向量 a?x1i?y1j?z1k；x1,y1,z1?R 非零向量 b?x2i?y2j?z2k；x2,y2,z2?R ?__________则：a?b?a?kb??__________ ??__________??x?kx2则：a//b?a?kb??1； ?y1?ky2 a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0 零向量：0?____________ 若a??x,y?， 则与a同方向的单位向量a0?xy为： a?a??,022x2?y2a??x?y?? ??a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0 零向量：0??0,0,0? 若a??x,y,z?， 则与a同方向的单位向量a0为： a0? aa? 若a??x1,y1?,b??x2,y2?则a?b??x1?x2,y1?y2?若a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?则a?b?_______________________ a?b??x1?x2,y1?y2?a?b?_______________________ ???????????????????????????????????向量的加,减运算的最终结果仍为向量若a??x,y?,k?R数与向量相乘,结果仍为向量若a??x,y,z?,k?R 则ka?______________则ka??kx,ky,kz??????????????????????????????若a??x1,y1?,b??x2,y2?则a与b的数量积为:若a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?则a与b的数量积为:向量与向量的数量积为实数 a?b?x1?x2?y1?y2a?b?__________________________ ?????????????????????????????????若a??x1,y1?,b??x2,y2? 则a与b的夹角?的余弦为：??[0,?] cos??a?bab若a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2? 则a与b的夹角?的余弦为：??[0,?] ?__________________ cos??a?bab?x1?x2?y1?y2?z1?z2x1?y1?z1?x2?y2?z2222222 已知：P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， 已知：P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)， P3(x3,y3)，且P1P3??P3P2， ???1 P3(x3,y3,z3)，且P1P3??P3P2， ???1 22
x1??x2?x1??x2?x?3?1??则?x3?1??，中点：(x1?x2,y1?y2) ?则 中点：(x1?x2,y1?y2,z1?z2) y??1??y222y1??y2?y3?222?y3?1???1????z?z1??z23?1???x1?x2?x3y1?y2?y3重心：(3,3) 重心：(x1?x2?x3,y1?y2?y3,z1?z2?z3) 333
（理）8．空间向量在立体几何中的应用 ① 异面两条直线AB、CD所成的角?：cos??AB?CDAB?CD。
② 空间直线l与平面?所成线面角的大小：（当直线l与平面?相交且不垂直时）设l与?所成的线面角为?，直线l的一个方向向量为d，平面?的一个法向量为n，则sin??d?nd?n。
③ 二面角：设二面角的两个半平面所在的平面?1、?2的法向量分别为n1、n2，二面角的大小为
?(0????)，则|cos?|?d?n，且?的范围由图象确定。
d?n④ 设P为平面?外一点，H是点P在平面?上的射影，设A为平面?内任意一点，n为平面?的一个非零法向量，则点P到平面?的距离为PA?n。
n⑤直线l的方向向量是d，平面?的法向量是n，则l//??d?n
平面?的法向量是n1，平面?的方向量是n2，则?//??n1//n2,????n1?n2
立体几何
1．立体几何的三个公理及其推论你还记得吗？你能画出图形并写成数学语言吗？ 公理（一）：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 公理（二）：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线。 公理（三）：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理（四）：平行于同一直线的两条直线互相平行。 2．立体几何中的判定定理、性质定理你了解吗？ 3．线、线关系：?共面???平行
??相交?异面? 23
① 证明两直线是异面直线思想方法：反证法； ② 异面直线所成角的范围：(0,?2]；
③ 异面直线所成角的求解思想方法：ⅰ.平移?相交?放入三角形中?利用余弦定理求解；
（理）ⅱ.建立空间直角坐标系?利用向量夹角公式加以求解。 例1．正四棱锥P?ABCD的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值为
例2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱
A1B1上的一点，则OP与AM所成角的大小为
?线在面内4．线、面关系：??线在面外?线、面平行
???线、面相交?① 直线与它在平面内的射影所成的角叫做“线面角”； ② 线面角的取值范围：[0,③ 线面角的求解思想：关键找出线在平面内的射影。
例3．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB?1，D在BB1上，BD?1，则AD与平面AA1C1C所成的角为
?2]；
?平行5．面、面关系：?
?相交① 由一条直线和这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ② 二面角的取值范围：[0,?]；
③ 二面角的求解思想：
ⅰ.找出或作出二面角（关键要找到面的垂线）ⅱ.建立坐标系，用向量求解。
例4．正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，对角线BD1?8，且BD1与侧面BB1C1C所成角为30，则二面角C1?BD1?B1的大小为
例5．从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60，则二面角B?PA?C 的余弦值为 6．常见的多面体有哪些？（请试着自己画出它们的图像）
① 正三棱锥：底面是正三角形；顶点在底面上的射影是底面的中心。 ② 正四面体：所有的棱都相等，所有的面都是正三角形； 侧棱与底面所成角的大小为：arccos0031；侧面与底面所成角的大小为：arccos； 33 24
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