2018年高考数学二轮复习专题七第1讲坐标系与参数方程案文

??x＝2cos θ，

解 (1)曲线C的参数方程为?(θ为参数).

?y＝3sin θ?

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为

d＝

5

|4cos θ＋3sin θ－6|. 5

d254

则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.

sin 30°53

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为

225

； 5

25

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为. 5

探究提高 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件. 2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.

??x＝2cos θ，

【训练2】 (2017·郴州三模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?

?y＝2＋2sin θ?

(θ

2

?x＝1－t，?2

为参数)，直线l的参数方程为?(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正

2y＝t??2

半轴为极轴建立极坐标系.

(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；

(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|·|PN|的值. 2

?x＝1－t，?2

解 (1)直线l的参数方程为?(t为参数)，

2

??y＝2t消去参数t，得x＋y－1＝0.

??x＝2cos θ，

曲线C的参数方程为?(θ为参数)，

?y＝2＋2sin θ?

利用平方关系，得x＋(y－2)＝4，则x＋y－4y＝0.

令ρ＝x＋y，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0). 把直线l的参数方程代入圆C的方程得t－32t＋1＝0，

2

2

2

2

2222

- 5 -

∴t1＋t2＝32，t1t2＝1.

由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1. 热点三 极坐标与参数方程的综合应用

【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?

?x＝3cos α，

(α

?y＝sin α

为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程π??为ρsin?θ＋?＝22. 4??

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标. 解 (1)C1的普通方程为＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

3(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α).

因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值.

π??|3cos α＋sin α－4|π??又d(α)＝＝2?sin?α＋?－2?，当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)3??6??2时，d(α)取得最小值，

x2

2

?31?最小值为2，此时点P的直角坐标为?，?.

?22?

探究提高 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.

??x＝2＋2cos θ，

【训练3】 (2017·哈尔滨模拟)已知曲线C的参数方程为?(θ为参数)，以

?y＝2sin θ?

π??坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin?θ＋?6??＝4.

(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；

π11π

(2)若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝与曲线C交于

36

O，P两点，求△PAB的面积.

??x＝2＋2cos θ，

解 (1)由?(θ为参数)，消去θ.

??y＝2sin θ

普通方程为(x－2)＋y＝4.

从而曲线C的极坐标方程为ρ－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，

- 6 -

2

22

π?31?因为直线l的极坐标方程为ρsin?θ＋?＝4，即ρsin θ＋ρcos θ＝4， 6?22?∴直线l的直角坐标方程为x＋3y－8＝0.

?π??π?(2)依题意，A，B两点的极坐标分别为?2，?，?4，?， 3??3??

11π?11π?联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程得P点极坐标为?23，，

6?6??∴|AB|＝2，

1?ππ?∴S△PAB＝×2×23sin?＋?＝23.

2?36?

1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.

2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答. 3.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为?

?x＝x0＋tcos α，?

??y＝y0＋tsin α

(t为参数)，

→t的几何意义是P0P的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意

1

两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).

2

x＝－8＋t，??

1.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为?t(t为参数)，

y＝??2

?x＝2s，

曲线C的参数方程为?(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的

?y＝22s最小值.

2

x＝－8＋t，??

解 由?t消去t.

y＝??2

得l的普通方程为x－2y＋8＝0，

因为点P在曲线C上，设点P(2s，22s).

|2s－42s＋8|2（s－2）＋4

则点P到直线l的距离d＝＝，

55

2

2

2

- 7 -

∴当s＝2时，d有最小值

4

45＝.

55

2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知2

曲线的极坐标方程为ρ＝. 1－sin θ(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x＋y，ρsin θ＝y， ∴ρ＝

2

化为ρ－ρsin θ＝2，

1－sin θ

2

22∴曲线的直角坐标方程为x＝4y＋4.

(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，

根据题意，不妨设P(θ0，ρ0)，则Q(θ＋π，ρ1)，且ρ0＝3ρ1，即2π5π

3·，解得θ0＝或θ0＝， 1－sin（θ0＋π）66π5π

直线l的极坐标方程θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R).

66

??x＝2＋t，

3.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?(t为参数)，直线

?y＝kt?

2

＝

1－sin θ0

x＝－2＋m，??

l2的参数方程为?m(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线

y＝??kC.

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为与C的交点，求M的极径. 解 (1)由l1：?

?x＝2＋t，???y＝kt(t为参数)消去t，

化为l1的普通方程y＝k(x－2)，① 同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，② 联立①，②消去k，得x－y＝4(y≠0). 所以C的普通方程为x－y＝4(y≠0). (2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝2，

2

22

2

- 8 -