2018年高考数学二轮复习专题七第1讲坐标系与参数方程案文

。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第1讲 坐标系与参数方程

高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

?π?(2)设点A的极坐标为?2，?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.

3??

解 (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 4

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

cos θ

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x－2)＋y＝4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 π??1??S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·?sin?α－?? 2

2

2

??3??

π?3??

＝2?sin??2α－3?－2?≤2＋3.

????π

当α＝－时，S取得最大值2＋3.

12所以△OAB面积的最大值为2＋3.

2.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?

??x＝a＋4t，

直线l的参数方程为?(t为参数).

?y＝1－t?

- 1 -

?x＝3cos θ，?

??y＝sin θ

(θ为参数)，

(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a. 解 (1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0. 曲线C的标准方程是＋y＝1，

9

x2

2

?x＋4y－3＝0，

联立方程?x2

2＋y＝1，??9

?

21

x＝－，?25??x＝3，?解得?或?

?y＝024?

??y＝25.

?2124?则C与l交点坐标是(3，0)和?－，?.

?2525?

(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0. 设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).

|3cos θ＋4sin θ－4－a||5sin（θ＋φ）－4－a|

则P到l距离d＝＝，

17173

其中tan φ＝.

4

又点C到直线l距离的最大值为17. ∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17. 若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8. 若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16. 综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.

考 点 整 合

1.直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设

??x＝ρcos θ，

M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则?

?y＝ρsin θ，?

ρ＝x＋y，??

?ytan θ＝（x≠0）.?x?

222

2.直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ－α).

- 2 -

0

几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α；

(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；

?π?(3)直线过M?b，?且平行于极轴：ρsin θ＝b.

2??

3.圆的极坐标方程

几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；

(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；

?π?(3)当圆心位于M?r，?，半径为r：ρ＝2rsin θ.

2??

4.直线的参数方程

??x＝x0＋tcos α，

经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为?(t为参数).

?y＝y0＋tsin α?

设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量. 5.圆、椭圆的参数方程

(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为?0≤θ≤2π).

??x＝acos θ，x2y2

(2)椭圆2＋2＝1的参数方程为?(θ为参数).

ab?y＝bsin θ?

?x＝x0＋rcos θ，?

??y＝y0＋rsin θ

→ (θ为参数，

热点一 曲线的极坐标方程

【例1】 (2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)＋(y－2)＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1，C2的极坐标方程；

π

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.

4解 (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，

2

2

C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

π2

(2)将θ＝代入ρ－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，

4得ρ－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.

- 3 -

2

1

由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为. 2

【迁移探究1】 本例条件不变，求直线C1与曲线C3交点的极坐标. ρcos θ＝－2，??π

解 联立方程?解之得θ＝且ρ＝－22. π

4θ＝，?4?π??所以直线C1与曲线C3交点的极坐标为?－22，?. 4??

【迁移探究2】 本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程.

解 ∵点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C2上，

∴(－ρ)＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，

故所求圆C2关于极点的对称圆方程为ρ＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.

探究提高 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ＝x＋y，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.

2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.

【训练1】 (2017·北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.

(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两点间的距离. 解 (1)由C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x－3y－1＝0，表示一条直线. 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ＝2ρcos θ. ∴x＋y＝2x，则(x－1)＋y＝1， ∴C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆.

(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－3y－1＝0上，因此直线C1过圆C2的圆心. ∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径，因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2. 热点二 参数方程及其应用

??x＝2＋t，

【例2】 (2014·全国Ⅰ卷)已知曲线C：＋＝1，直线l：?(t为参数).

49?y＝2－2t?

2

2

2

22

2

2

2

2

2

yxx2y2

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

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