第九章不等式及不等式组

第八章 不等式和不等式组

【知识概念图表】

知识要点（定义、公理、定理、公式、法则） （一）不等式 1.不等式及其解集 （1）不等式：一般地，用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示大小关系的式子叫做不等式。 （2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 （3）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 （4）一元一次不等式：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 2. 不等式的性质 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

深度理解 一元一次不等式的左、右两边都是整式。 思维拓展 不等式的三条基本性质用式子可表示为： 性质1，若a>b,则 a±c>b±c; 性质2，若a>b,c>0,则ac>bc（或ab?）; cc

（二）实际问题与一元一次不等式 解不等式应用题的步骤： （1）找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）； （2）解出这个不等式（组）； （3）从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案； （三）一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2.. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 性质3，若a>b,c<0,则ac a a 大大取大

等式 ?x?a(a?b)?x?b? b a x

1.利用不等式基本性质3时容易出错。在不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。主要在“去分母”和“系数化为1”两步要特别仔细，尤其要注意：当系数是字母时，必须要弄清字母的正负性，才可以解不等式，才知道是否要改变不等号的方向。 典型示例：

①选择：若a＜b，则下列各式中一定成立的是（ ）

A、a－1>b－1 B、＞ C、－a>－b D、ac＜bc

②选择：如果关于x的不等式(a?1)x?a?1的解集为x?1，那么a的取值范围是

（ ）

A、a?0 B、a?0 C、a??1 D、a??1

常见错误：①选D；②选B 解析点评：

①本题主要考查不等式的性质。题目告诉了：a＜b，那么根据不等式的性质来分析判断．A “a－1>b－1 ”显然在两边各减去了1，那么用不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，所以不等号应该是不变方向，但这里变了，所以A 不成立；B“＞”两边都除以了3，显然要用到不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而这里也变了，所以B也不正确；C“－a>－b”与原不等式“a＜b”比较，我们发现是在两边同乘以了“－1”，那么显然要用到不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．这时由“<”变成了“>”，因而C是正确的。D由“a＜b”变成了“ac＜bc”是不能确定的，因为 “c”是个字母，字母本身是正数还是负数？或者是0？我们不得而知；所以正确的答案只能是：C.

②题目告诉了：关于x的不等式(a?1)x?a?1的解集为x?1，显然不等号的方向发生了变化，这意味着什么呢？这说明两边同除以的式子：a?1是个负数即a?1<0。所以a??1.所以正确的答案应当是D。因而选A、B、C都不正确。

本题启示：应用不等式的基本性质时，一定要注意在不等式的两边同乘以或除以一个负数的情况，由不等式的基本性质3，是要改变不等号的方向的。反之，含有待定字母的不等式的解集如果改变了方向，由不等式的基本性质3，就说明两边所除以的式子是负数。

2.用数轴表示不等式（组）的解集时容易出错。数轴未画完整，掉正方向的，包围线左