2011高考状元复习资料-平面向量

2011高考状元复习资料-平面向量

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向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键

在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力

因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性

【专题综合】

1.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理

例1. (2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（ ） A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11

解：(a+2b)(1,?2)?2(?3,4)?(?5,6)，(a+2b)·c ?(?5,6)?(3,2)??3，选C

点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字

例2、(2008广东文)已知平面向量a?(1,2),b?(?2,m)，且a∥b，则2a?3b=（ ） A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 解：由a∥b，得m＝－4，所以，

2a?3b＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。

点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的?倍，也是共线向量，注意运算的公

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式，容易与向量垂直的坐标运算混淆

???????????例3．（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，?????????????????b将向量OE，BF，BD， FD表示出来。

??（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量a，b来表示其他

向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可

因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及

顶点

A，B，C四点构成平行四边形ABCO，

??????????????????????????所以BA?BC?BA?AO?B，OBO=a＋b，??????????OE= BO=a+b，

AaBbCOFE由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以?????????????????????????BF=BO＋OF=BO+BA=a+b+a=2a+b，

D?????????????????????????同样在平行四边形 BCDO中，BD＝BC?CD＝BC?BO＝b＋(a＋b)＝a＋2b，??????????????FD＝BC?BA＝b－a

??点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 a，b表????示，且可用规定其中任两个向量为a，b，另外任取两点为起点和终点，也可用a，b表示。

例4．已知?ABC中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求AD。 ????????????解析：设D(x,y)，则AD??x?2,y?1?,BD??x?3,y?2?,BC???b,?3?

????????????????∵AD?BC,BD?BC

??????6?x?2??3?y?1??0?x?1??得?

?????3x?3?6y?2?0y?1??????所以AD???1,2?。

2. 向量与三角函数的综合问题

例5、（2008深圳福田等）已知向量

??f(x)?2a?b?1?a?(3sixn?,cxos?b),(xcosx,cos ,函数

)

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(1)求f(x)的最小正周期; (2)当

x?[?6, ?2时, 若f(x)?1,求x的值．

]解：(1) f(x)?23sinxcosx?2cosx?1?所以，T＝?.

??1?sin?2x???6?2， ?(2) 由f(x)?1,得

x?[23sin2x?cos2x?2sin(2x??)6.

??6,∵

2，∴

]2x??6?[?2,7?6]2x??6?5?6 ∴

x??3

∴

点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.

tanC?37． 例6、（2007山东文）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求cosC；

????????5CB?CA?2，且a?b?9，求c． （2）若

?tanC?37，?sinCcosC?37解：（1）

cosC??18． 18．

又?sinC?cosC?1 解得

22

?tanC?0，?C是锐角．

?cosC?????????55CB?CA??abcosC?2， 2， （2）由

?ab?20．

又?a?b?9 ?a?2ab?b?81．

22?a?b?41．

22222?c?a?b?2abcosC?36． ?c?6．

点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。 3. 平面向量与函数问题的交汇

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例7．已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(

12,

32).

(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；

(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间 解：（1）法一：由题意知x＝(

t?23?322,

3t?23?222),

y＝(

12t－3k，

32t＋k)，又x⊥y

故x · y＝

t?23?322×（

12t－3k）＋

143t?23?222×(

32t＋k)＝0

整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－

34t.

法二：∵a＝(3，－1)，b＝(

12,

32), ∴. a＝2，b＝1且a⊥b

14∵x⊥y，∴x · y＝0，即－ka2＋t(t2－3)b2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝

14t3－

34t

t3－

34t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝

34t3－

34,

令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.

故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）. [归纳] 第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用

??13[变式] 已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(，)，若存在不为零的实数k和角

22α，使向量c＝a＋(sinα－3)b, d＝－ka＋(sinα)b,且c⊥d，试求实数k 的取值范围。

[点拨] 将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量

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