中考数学压轴题-抛物线与圆（含答案）

中考数学压轴题分类强化训练3-抛物线与圆

1、如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，

现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C1DE的位置。

(1)求C1点的坐标；

(2)求经过三点O、A、C1的抛物线的解析式；

(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式； (4)抛物线上是否存在一点M，使得S?AMF:S?OAB?16:3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

解(1)C1(3，3) (2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为y＝ax＋bx2

?323?4a?2b?0把A(2，0)，C`(3，3)带入，得? 解得a＝，b＝－

33??9a?3b?3∴抛物线解析式为y＝3223x－x 33(3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°

又AB＝2 ∴AF＝4 ∴OF＝2 ∴F(－2，0) 设直线BF的解析式为y＝kx＋b

?323?k?b?3把B(1，3)，F(－2，0)带入，得? 解得k＝，b＝

33???2k?b?0∴直线BF的解析式为y＝

323x＋ 333223x－x) 33 (4)①当M在x轴上方时，存在M(x，S△AMF：S△OAB＝[

2

322311×4×(x－x)]：[×2×4]＝16：3

3322得x－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2 当x1＝4时，y＝323832

×4－×4＝；

333323832

×(－2)－×(－2)＝ 333当x1＝－2时，y＝∴M1(4，8383)，M2(－2，) 33②当M在x轴下方时，不存在，设点M(x，

3223x－x) 33 S△AMF：S△OAB＝[－

2

2

322311×4×(x－x)]：[×2×4]＝16：3

3322得x－2x＋8＝0，b－4ac＜0 无实解 综上所述，存在点的坐标为M1(4，8383)，M2(－2，)． 332．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，3）为圆心的圆与y轴相切于 点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的

1．如果 2存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由； （3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再

到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．.

解：（1）联结PA，PB，PC，过点P作PG⊥BC于点G．

∵⊙P与y轴相切于点A， ∴PA⊥y轴，

∵P（2，3），

∴OG=AP=2，PG=OA=3 ∴PB=PC=2． ∴BG=1．

yAPGOBCx∴CG=1，BC=2． ∴OB=1，OC=3．

∴ A（0，3），B（1，0），C（3，0）

根据题意设二次函数解析式为：y?a(x?1)(x?3)，

∴(0?1)(0?3)a?3，解得a=

3． 3∴二次函数的解析式为：y?3243x?x?3 33（2）存在．点M的坐标为（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）

（3）∵y?32433233x?x?3=(x?4x?3)?(x?2)2?，

333y333）． 3P ∴抛物线的顶点Q（2，?P'A作点P关于y轴的对称点P’，则P’（-2，3）．

OBQCx 联结P’ Q，则P’ Q是最短总路径， 根据勾股定理，可得P’ Q=83 33．如图，在直角坐标系xoy中，已知点P(2,3)，过P作PA?y轴交y轴于点A，以点 P为圆心PA为半径作⊙P，交x轴于点B,C，抛物线y?ax2?bx?c经过A，B，C三点．（1）求点A，B，C的坐标；

（2）求出该抛物线的解析式；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得四边形ABCP的面积是?BPQ面积

的2倍？若存在，请求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由．

解：（1）过P作PD?BC交BC于D,

由题意得:PA?PB?PC?2,PD?OA?∴BD?CD?1,

∴OB?1

∴A(0,3),B(1,0),C(3,0)

3

（2）设该抛物线解析式为：y?a(x?1)(x?3)，则有

3?a(0?1)(0?3)解之得a?3 3故该抛物线的解析式为y?（3）存在

3(x?1)(x?3) 3∵?BDP?90?,BD?1,BP?2 ∴cos?DBP?BD1? BP2∴?DBP?60? ∴?BPA?60?

∴?ABP与?BPC都是等边三角形 ∴S四边形ABCP?2S?ABP?2S?BCP ∵B(1,0)，P(2,3)

∴过B,P两点的直线解析式为：y?3x?3

3x?b1

则可设经过点A且与BP平行的直线解析式为：y?且有3?3?0?b1解之得b1?3即y?3x?3

?y?3x?3?x?0?x?7?或解方程组?得 ??3(x?1)(x?3)?y?3?y?83?y?3?也可设经过点C且与BP平行的直线解析式为：y?且有0?33?b2解之得b2??33即y?3x?b2

3x?33

?y?3x?33?x?3?x?4?或?解方程组?得? 3(x?1)(x?3)?y?0?y?3?y?3?∴Q(0,3),(7,83),(3,0),(4,3)

0)为圆心，4．如图，在直角坐标系中，以点A(3，以23为半径的圆与x轴相交于点B，C，

与y轴相交于点D，E．