2018届高考数学二轮复习寒假作业二十一不等式选讲注意解题的准度文

寒假作业(二十一) 选修4－5 不等式选讲(注意解题的准度)

1．(2018届高三·广东五校联考)已知函数f(x)＝|x－a|. (1)若a＝1，解不等式：f(x)≥4－|x－1|；

11

(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求mn的最小值．

m2n解：(1)当a＝1时，不等式为|x－1|≥4－|x－1|， 即|x－1|≥2，

∴x－1≥2或x－1≤－2，即x≥3或x≤－1， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

(2)f(x)≤1?|x－a|≤1?－1≤x－a≤1?a－1≤x≤a＋1， ∵f(x)≤1的解集为[0,2]， ∴?

??a－1＝0，

??a＋1＝2，

得a＝1.

1

(m>0，n>0)， 2mn11

∴＋＝1≥2m2n111??∴mn≥2?当且仅当＝＝，即m＝2，n＝1时取等号?. m2n2??∴mn的最小值为2.

2．已知a，b，c，d均为正数，且ad＝bc. (1)证明：若a＋d>b＋c，则|a－d|>|b－c|；

(2)若t·a＋b·c＋d＝a＋c＋b＋d，求实数t的取值范围． 解：(1)证明：由a＋d>b＋c，且a，b，c，d均为正数， 得(a＋d)>(b＋c)，又ad＝bc， 所以(a－d)>(b－c)，即|a－d|>|b－c|.

(2)因为(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd＝ac＋2abcd＋bd＝(ac＋bd)， 所以t·a＋b·c＋d＝t(ac＋bd)． 由于a＋c≥ 2ac, b＋d≥ 2bd，

又已知t·a＋b·c＋d＝ a＋c＋b＋d，

则t(ac＋bd)≥ 2(ac＋bd)，故t≥ 2，当且仅当a＝c，b＝d时取等号． 所以实数t的取值范围为[2，＋∞)．

3．(2017·南昌模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R. (1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围； (2)当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．

2

2

2

2

4

4

4

4

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

22

22

22

22

22

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

4

4

解：(1)由f(x)≤2－|x－1|，可得?x－?＋|x－1|≤1.

?2?

?

a?

????而由绝对值的几何意义知?x－?＋|x－1|≥?－1?， ?2??2???由不等式f(x)≤2－|x－1|有解，得?－1?≤1，

?2?

即0≤a≤4.

故实数a的取值范围是[0,4]．

(2)函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a<2，即<1时，

2

aaaa??af(x)＝?x－a＋1，≤x≤1，

2

??3x－a－1，x>1.

－3x＋a＋1，x<，2

a

所以f(x)min＝f??＝－＋1＝3，

2?2?得a＝－4<2(符合题意)， 故a＝－4.

4．(2017·洛阳统考)已知f(x)＝|2x－1|－|x＋1|. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；

14

(2)若a＋b＝1，对?a，b∈(0，＋∞)，＋≥3f(x)恒成立，求x的取值范围．

?a?

aab?1?－3x，－1≤x≤，2解：(1)由已知，得f(x)＝?1

x－2，x>，??2

函数f(x)的图象如图所示．

－x＋2，x<－1，

(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1， 14?14??b4a?∴＋＝?＋?(a＋b)＝5＋?＋?≥5＋2ab?ab??ab?

b4ab4a1

·＝9，当且仅当＝，即a＝，babab3

2

＝时等号成立． 3

14

∵＋≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，

ab∴|2x－1|－|x＋1|≤3， 结合图象知－1≤x≤5， ∴x的取值范围是[－1,5]．