高考数学之冲破压轴题讲与练 专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题【解析版】

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离． 【答案】（1）15（百米）； （2）见解析；

（3）17+321（百米）. 【解析】 解法一：

（1）过A作AE?BD，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE?BE?AC?6, AE?CD?8. 因为PB⊥AB，

所以cos?PBD?sin?ABE?84?. 105所以

PB?BD12??15. cos?PBD45因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处，连结AD，由（1）知AD?AE2?ED2?10，

AD2?AB2?BD27从而cos?BAD???0，所以∠BAD为锐角.

2AD?AB25

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此，Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

?AB，由（1）知，PB?15， 设ax?y?M?N为l上一点，且PB11?PB?PB此时PD11sin?PBD11cos?EBA?15?3?9； 5?15. 当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB?PB11由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，

CQ?QA2?AC2?152?62?321.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321. 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：

（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H. 以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.

因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，?3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.

从而A（4，3），B（?4，?3），直线AB的斜率为因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为?直线PB的方程为y??3. 44， 3425x?. 33所以P（?13，9），PB?(?13?4)2?(9?3)2?15. 因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（?4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3）， 所以线段AD：y??3x?6(?4剟x4). 421515??2在线段AD上取点M（3，），因为OM?3????32?42?5，

4?4?所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

?AB，由（1）知，PB?15，此时P设ax?y?M?N为l上一点，且PB111??13,9?； ?15. 当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB?PB11由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求. 当QA=15时，设Q（a，9），由AQ?(a?4)2?(9?3)2?15(a?4)，

得a=4?321，所以Q（4?321，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上，当P（?13，9），Q（4?321，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离

PQ?4?321?(?13)?17?321.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17?321（百米）. 16.（2018届江西省重点中学协作体第二次联考）已知椭圆：为

.点

满足

.

的离心率为，短轴

(1)求椭圆的方程；

(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）【解析】 （1）所以

从而的方程为

. ，

、，

，

，

.

因为解得

为定值，所以

.此时定值为.

，使得

.

为定值.

，过点

作与轴平行的直线，点为动点.

，

.

，

.（2）答案见解析.

为定值？

（2）当不为轴时，设：联立与的方程可得所以

当为轴时，综上，存在

17.（河北省衡水金卷2018年调研卷（二））已知点在直线上的投影，且满足（1）求动点的轨迹的方程；

.

（2）已知点为曲线上的一点，且曲线在点处的切线为，若与直线相交于点，试探究在轴上是