高考数学之冲破压轴题讲与练 专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题【解析版】

则?MNO即为直线MN与底面ABCD所成的角，所以，tan?MNO?则ON?OM?2， ON11，所以N的轨迹是以底面ABCD的中心O为圆心，以为半径的圆， 222??1??因此，N的轨迹围成的封闭图象的面积为S??????，故答案为：.

44?2?10．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系直线x+y=0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】 当直线由即切点则切点Q到直线故答案为：．

11．（2019·山东高三月考）已知抛物线C:y?2px?p?0?的焦点为F，准线为l.若位于x轴上方的动

2中，P是曲线上的一个动点，则点P到

平移到与曲线，得，

的距离为

相切位置时，切点Q即为点P到直线，

，

的距离最小.

，

点A在准线l上，线段AF与抛物线C相交于点B，且

2AFBF?AF?1，则抛物线C的标准方程为____.

【答案】y?2x 【解析】

如图所示，设?AFO??(0???过点B作BB??l于点B?，

由抛物线的定义知，BF?BB?，FC?p，?ABB???AFO??；

?2)，

在Rt?AB?B中，cos??BB?AB?BFAB，BF?ABcos?，

从而AF?BF?AB?AB(1?cos?)；

又

AFBF?AF?1，所以

AB(1?cos?)ABcos??AF?1，

即

1?cos?1?AF?1，所以AF?；

cos?cos?在Rt?AFC中，cos??CFAF?p，p?AFcos?， AF所以p?1·cos??1， cos?2所以抛物线C的标准方程为y?2x． 故答案为：y?2x．

12．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y?2x上在第一象限内的点，B?5,0?，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB?CD?0，则点A的横坐标为________． 【答案】3 【解析】

分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设A?a,2a?(a?0)，则由圆心C为AB中点得C?2uuuvuuuv?a?5?,a?,易得2??eC:?x?5??x?a??y?y?2a??0，与y?2x联立解得点D的横坐标xD?1,所以D?1,2?.所以

uuuvuuuv?a?5?AB??5?a,?2a?,CD??1?,2?a?，

2??由AB?CD?0得?5?a??1?因为a?0，所以a?3.

uuuvuuuv??a?5?2????2a??2?a??0,a?2a?3?0,a?3或a??1， 2?x2y213.（2019·江苏高三月考）设A，B分别为椭圆C：2?2?1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C

ab过点P(2，1)，当线段AB长最小时椭圆C的离心率为_______. 【答案】【解析】

2 2x2y2因为A，B分别为椭圆C：2?2?1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，

ab所以A(a,0)，B(0,b)， 又椭圆C过点P(2,1)， 所以

41??1， a2b222221?a24b2?4所以AB?a?b?(a?b)?2?2??4?2?2?1?9?3，

b?ba?aa24b2当且仅当2?2，即a2?2b2时，取等号，

ba此时a2?2c2，所以离心率为e?c12. ??a22故答案为2 214.（2019·河南南阳中学高三月考）已知平面上一定点C?2,0?和直线l:x?8，P为该平面上一动点，作

v1uuuv??uuuv1uuuv??uuuPQ?l，垂足为Q，且?PC?PQ???PC?PQ??0

22????（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若EF为圆N:x?(y?1)?1的任一条直径，求PE?PF的最小值．

22uuuvuuuvx2y2【答案】（1）??1（2）12?43 1612【解析】

uuuvuuuv（1）设P?x,y?，则Q?8,y? ?PC??2?x,?y?，PQ??8?x,0?

v1uuuv??uuuv1uuuv?uuuv21uuuv2?uuuQ?PC?PQ???PC?PQ??PC?PQ?0

224????12x2y2??2?x??y??8?x??0，整理可得：??1

4161222x2y2??1 ?P的轨迹方程为：

1612（2）由题意知，圆N的圆心为：?0,1?，则E,F关于?0,1?对称 设P?x,y?，E?cos?,1?sin?? ?F??cos?,1?sin??

uuuvuuuv?PE??cos??x,sin??1?y?，PF???cos??x,?sin??1?y?

uuuvuuuv222?PE?PF?x?cos2???1?y??sin2??x2??y?1??1

uuuvuuuv?要求PE?PF得最小值，只需求解出点P到点?0,1?的距离d的平方的最小值

设P4cos?,23sin?

??d?16cos??23sin??1??4sin2??43sin??17

22??2Qsin????1,1? ?当sin??1时，d2取最小值：13?43 uuuvuuuv?PE?PF??min2?dmin?1?13?43?1?12?43 15．（2019·江苏高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、

D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．