高考数学之冲破压轴题讲与练 专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题【解析版】

右焦点．

（1）若是该椭圆上的一个动点，求（2）设过定点斜率的取值范围． 【答案】（1）-2;1；（2）【解析】 （1）易知设 因为当

，则

，故当

，即点为椭圆短轴端点时，

有最大值．

，

，

，

有最小值

；

，

，

，所以

，

，

的最大值和最小值；

，且

为锐角（其中为坐标原点），求直线 的

的直线 与椭圆交于不同的两点

，即点 为椭圆长轴端点时，

不满足题设条件，可设直线

（2）显然直线联立

消去，整理得，所以

由又所以又

得

因为 故由①，②得

，即

，所以

中，点

，点在轴上，点

例7.（江西师范大学附属中学2018届10月月考）在平面直角坐标系在轴非负半轴上，点满足：

（1）当点在轴上移动时，求动点的轨迹C的方程；

（2）设为曲线C上一点，直线过点且与曲线C在点处的切线垂直，与C的另一个交点为，若以线段

为直径的圆经过原点，求直线的方程．

（Ⅱ）

【答案】（Ⅰ）【解析】

（Ⅰ）设A（a，0），M（x，y），B（0，b），则∵∵

=2

=（x﹣a，y），=（﹣a，b），=（a，1）

，∴有（x﹣a，y）=2（﹣a，b），即有x﹣a=﹣2a，y=2b，即x=﹣a，y=2b

，∴有a（x﹣a）+y=0

2

∴﹣x（x+x）+y=0，∴﹣2x+y=0 即C的方程是y=2x；

（Ⅱ）设Q（m，2m），直线l的斜率为k，则y′=4x，∴k=∴直线l的方程为y﹣2m=

2

2

2

22

（x﹣m）

与y=2x联立，消去y可得2x+∴（2m）yR=4（﹣m﹣）

2

2

2

x﹣2m2﹣=0，该方程必有两根m与xR，且mxR=﹣m2﹣

∵，∴mxR+（2m）yR=0，∴﹣m﹣+4（﹣m﹣）=0，∴m=±

．

的右顶点为A（2，0），

2222

∴直线l的方程为

例8.（江苏省苏州市2018届高三上期末）如图，已知椭圆点P（2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足【答案】（1）【解析】 (1)由题意知解得(2)设

，

所以又所以即又又所以所以

．

，即

．

．

，又

，所以

，解得．

，所以，所以

，且

，又

，所以椭圆的方程为

，

，有．

． 或

． ，又．

． ，

． ，则： ．

；（2）

，且

，求实数的值．

又由题意知，所以．

【压轴训练】

1．两圆x?y?2ax?a?4?0和x?y?4by?1?4b?0恰有三条公切线，若a?R,b?R且

222222ab?0，则

A.1 【答案】A 【解析】

11?2的最小值为（ ） 2abB.3

C.

1 9D.

4 9试题分析：由题意得两圆(x?a)?y?4与x?(y?2b)y?1相外切，即

2222

a2?4b2?2?1?a2?4b2?9，所以

a24b21111(a2?4b2)1a24b21a24b2?2?(2?2)?[5?2?2]?[5?22?2]?1，当且仅当2=2时取等2baabab99ba9ba号，所以选A.

2B(4,0)，2．已知两点A(0,?3)，若点P是圆x?则△ABP面积的最小值是（ ） y2?2y?0上的动点，

D．

A．

11 2B．6 C．8

21 2【答案】A 【解析】

由题意知，圆的方程为：x2??y?1??1，AB?16?9?5 直线AB方程为：

2xy??1，即3x?4y?12?0 4?3设Pcosq,1+sinq

()?点P到直线AB的距离：d??当sin???????1时，dmin?本题正确选项：A

33cos??4sin??165sin??????16，其中tan?? ?45511111 ??S?ABP?min?AB?dmin? 522xysin?)，则（ ） ??1通过点M(cos?，ab1111C.2?2?1 D.2?2?1 abab3．（2008·全国高考真题（理））若直线A.a2?b2?1 【答案】D 【解析】

B.a2?b2?1

依题意可得，M点在单位圆上，所以直线

xy??1与单位圆有交点，则圆心即原点到直线的距离abd?111?a2b2?1，即

11??1，故选D a2b24.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d为点P?cosθ,sinθ?到直线x?my?2?0的距离，当?、m变化时，d的最大值为（ ） A．1

B．2