2019年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）-解析版

2019年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验

中学）高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数（1-i）（3+i）的虚部是（ ）

A. 4 B. C. 2 D. 2. 若集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|log3x≤1}，则A∩B=（ ）

A. B. C. D. 或

的夹角为60° |=2，则|3 |=（ ） ， |=1，| + 3. 已知向量 ，|

A. B. C. D. 222

4. 设直线y=x- 与圆O：x+y=a相交于A，B两点，且|AB|=2 ，则圆O的面积为（ ）

A. B. C. D. 5. 等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a10=16，a8=11，则S7=（ ）

A. 30 B. 35 C. 42 D. 56 6. 已知α∈（0， ），tan（ ）=-3，则sinα=（ ）

A.

B.

10. 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学

家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[-1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y＞ 的数对（x，y）共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ）

A.

11. 已知双曲线

B.

C.

D.

=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（- ，0），点A的坐标为（0，2），点P为双曲

线右支上的动点，且△APF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D.

fx）=ex-ax2在区间+∞）x（12. 若函数（（0，上有两个极值点x1，，则实数a的取值范围是（ ） 20＜x1＜x2）

A.

B. C.

D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

z=2x+y的最大值是______． 13. 已知x，y满足约束条件： ，则

14. 甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”．如

果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是______．

15. 等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=______．

AB⊥底面BCD，AB=BD= ，CB=CD=1，16. 四面体A-BCD中，则四面体A-BCD的外接球的表面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

2

17. 设函数f（x）=sin（2x- ）+2cosx．

C.

D.

7. 执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为4，第二次输入的x的值为5，记第一次输出

的a的值为a1，第二次输出的a的值为a2，则a1-a2=（ ）

（Ⅰ）当x∈[0， ]时，求函数f（x）的值域；

（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）= ，a= ，b=2，求△ABC的面积．

18. 世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已

超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200

名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据： 每周累计户外暴露时间 （单位：小时） 近视人数 不近视人数 [0，7） 21 3 [7，14） 39 37 [14，21） 37 52 [21，28） 2 5 不少于28小时 1 3

A. 0

8. 设a=（ ）

B.

，b=（ ）

C. 1

D. 2

，c=（ ）

，则a，b，c的大小关系为（ ）

A. B. C. D.

9. 已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，则m⊥α的一个充分条件是（ ）

A. ⊥ ， B. ， ⊥ C. ⊥ ， ⊥ ， ⊥ D. ， ⊥ ， ⊥

（Ⅰ）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不

近视的概率；

（Ⅱ）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完

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成如下列联表，并根据（Ⅱ）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？

足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 2

附：K=

近视 不近视

P（K2≥k0） k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，P在平面ABCD上

的射影为G，且G在AD上，且AG= GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P-BCG的体积为 ．

（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角余弦值； （Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；

（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求 的值．

20. 已知F1，F2分别是椭圆E：

x

21. 已知函数f（x）=e（e为自然对数的底数），g（x）=ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a=e时，求函数t（x）=f（x）-g（x）的极小值；

（Ⅱ）若当x≥1时，关于x的方程f（x）+lnx-e=g（x）-a有且只有一个实数解，求实数a的取值范围． （α为参数），直线l的方程为y=kx，以

坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；

（Ⅱ）曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|+|OB|=2 ，求k的值．

23. 已知函数f（x）=|x-4a|+|x|，a∈R．

2

（Ⅰ）若不等式f（x）≥a对?x∈R恒成立，求实数a的取值范围；

222

（Ⅱ）设实数m为（Ⅰ）中a的最大值，若实数x，y，z满足4x+2y+z=m，求（x+y）+y+z的最小值． 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

=1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（-1， ）在椭圆E上，且抛物

2

线y=4x的焦点是椭圆E的一个焦点． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

2222

B两点，（Ⅱ）过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x+y=a+b相交于A，且与椭圆E相交于C，

=1时，求△F1CD的面积． D两点，当

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】

故选：C．

根据题意，求出圆O的圆心与半径，求出圆心O到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得a2=1+（

2

）=4，结合圆的面积公式计算可得答案．

解：∵（1-i）（3+i）=4-2i．

∴复数（1-i）（3+i）的虚部是-2． 故选：D．

再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2.【答案】B

【解析】

本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题． 5.【答案】B

【解析】

解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a10=16，a8=11， ∴

，

解：B={x|0＜x≤3}； ∴A∩B={x|0＜x≤2}． 故选：B．

可解出集合B，然后进行交集的运算即可．

考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算． 3.【答案】C

【解析】

解得a1=，d=， ∴S7=7a1+故选：B．

利用等差数列通项公式列方程组，能求出a1=，d=，由此再利用等差数列前n项和公式能求出S7．

=

=35．

解：∵向量∴则|3=故选：C．

=+

，的夹角为60°，|=1，

|=1，||=2， 本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

|=

=

，

=

6.【答案】A

【解析】

解：∵利用两角和的正切公式得tan（∴tanα=2．

，然后根据向量数量积的性质|3

+

|=

，

∵α∈（0，∴

）， ．

）==-3，

由已知结合向量数量积的定义可求展开后可求．

本题主要考查了向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础试题． 4.【答案】C

【解析】

222

解：根据题意，圆O：x+y=a的圆心为（0，0），半径r=|a|，

22

再根据sinα+cosα=1，解得

．

故选：A．

利用两角和的正切公式求出tanα，再结合角的范围及同角三角函数基本关系即可求出sinα．

圆心到直线y=x-又由弦长|AB|=2

的距离d=

2

，则有a=1+（

=1，

2

）=4，

本题考查两角和的正切公式，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 7.【答案】B

【解析】

则圆O的面积S=πa2=4π；

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解：当输入的x值为4时，b=2，

第一次，不满足b＞x，不满足x能被b整数，故输出a=0； 当输入的x值为5时，

第一次，不满足b＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；

2

第二次，满足b＞x，故输出a=1；

22

即第一次输出的a的值为a1的值为0，第二次输出的a的值为a2的值为1，则a1-a2=0-1=-1． 故选：B．

解：从区间[-1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y＞数对（x，y）共有11个，

的

根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．

即从区间[-1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y≤

本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题． 8.【答案】B

【解析】

的数

对（x，y）共有100-2×11=78个，

x

由几何概型中的面积型可得：

=

， =

，

解：由函数y=（）为减函数，可知b＜c， 由函数y=x为增函数，可知a＞c， 即b＜c＜a， 故选：B．

根据指数函数和幂函数的单调性即可求出．

本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题． 9.【答案】C

【解析】

所以π=故选：A．

由不等式表示的平面区域得：不等式y＞x2+y2=1外的区域， 由几何概型中的面积型得：

=

的平面区域为正方形内位于第一，二象限圆

，即π==，得解

解：当n⊥β，m⊥β时，m∥n， 当n⊥α时，m⊥α，即充分性成立， 即m⊥α的一个充分条件是C， 故选：C．

本题考查了几何概型中的面积型，及不等式表示的平面区域，属中档题 11.【答案】D

【解析】

解：由|AF|==3，三角形APF的周长的最小值为8，

可得|PA|+|PF|的最小值为5，

根据空间直线和平面垂直的判定定理以及性质结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．

又F'为双曲线的右焦点，可得|PF|=|PF'|+2a，

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面垂直的位置关系是解决本题

当A，P，F'三点共线时，|PA|+|PF'|取得最小值，且为|AF'|=3，

的关键． 10.【答案】A

【解析】

即有3+2a=5，即a=1，c=可得e==

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，

．