几何与代数各章知识点概述

则0是A的特征值，若E?A?0，则1是A的特征值。

二．相似矩阵及矩阵相似的必要条件

定义：矩阵的相似。

定理：若矩阵A与B相似，则

行列式。

?E?A??E?B，且A与B有相同的特征值、迹、秩、

?1a1??0?????1 【例4】已知矩阵A??a1b?与B???相似，求a,b。

?1b1??2?????解：A，B相似，则|A|=|B|=0。化简可得|A|=(a-b)2=0,所以a=b。

另外，A，B相似，A的特征值也为0，1，2。当?=1时，|?I-A|=-2ab=0。 所以a=b=0。

注：1.逆命题不成立

2.课程中没有介绍“充分条件”，除非对矩阵加了特定的条件（如实对称等）。 【例5】 若A与B之一可逆，证明：AB与BA一定相似。

?A1 【例6】 若A1与B1相似，A2与B2相似，证明：??三．矩阵可相似对角化问题

??B1?与?A2????相似。 B2??01???0?? 注：并非每个矩阵都相似于对角阵。如???1???0??定理：n?n矩阵A相似于对角阵?A有n个线性无关的特征向量。

定理：矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。

?123???【例7】如：?045?肯定相似与对角阵。

?006????10?如：??有重特征值，但相似于对角阵。

01?? 定理：如果?1,?2,?,?s是矩阵A的互不相同的特征值，?i1,?i2,?,?iki是A的属于?i的

特征向量，则?11,?12,?,?1k1,?,?s1,?s2,?,?sks线性无关。

【例8】假设A?aij??n?n是上三角矩阵。证明

（1） 如果a11,a22,?,ann互异，则A一定相似于对角阵；

(此时，A有n个不同的特征值a11,a22,?,ann，所以有n个线性无关的特

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征向量。)

（2） 如果a11,a22,?,ann全相等，而A不是对角阵，则A肯定不相似于

对角阵。

（此时，A的n个特征值相同，且r??I?A??0?n?ni?n?n.）

定理：n?n矩阵A相似于对角阵?对于A的s重特征值，A有s个线性无关的特征

向量。

?1?11???4y?相似于对角阵，2是一个二重特征值。求x,y【例9】 假设A??x??3?35???及可逆矩阵P，使得PAP是对角阵。

?1?12?3???【例10】 已知矩阵A???14?3?的特征方程有一个二重根。求参数a的

?1a5???值，并讨论A是否可相似对角化。 注：

?E?A?(??2)(?2?8??18?3a)。因此，若2是两重根，则

a??2，此时，特征值为2，2，6。可以证明，这时，可以相似对

角化。

若2不是两重根，则??8??18?3a为完全平方，从而可以解得

22a??。可以证明，这时不可以相似对角化。

3【例11】 设n?n矩阵A满足A?A。证明：

（1）A相似于???2?Er?oo??； o?（2）tr(A)?r(A)。

四．同时对角化问题、矩阵相似对角化的应用

【例12】 设n?n矩阵A有n个互不相同的特征值，且AB?BA。证明：存在

可逆阵P使得PAP，PBP均是对角阵。

?1?1??32?n【例13】 设A???。求A。

??22?

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第七部分 实对称矩阵和二次型

应当注意，讨论二次型与讨论实对称矩阵本质上是同一回事。 一．内积、Schmidt正交化方法和正交矩阵

1． 内积和正交性

定义：n维向量的内积（可以用矩阵的乘积表示）??,????T? 正交

长度，单位向量，单位化 正交向量组

定理：正交向量组是线性无关的。

【例1】 已知向量组?1,?2,?3线性无关，非零向量?与?1,?2,?3中每个向

量正交。证明：?1,?2,?3，?线性无关。

2． Schmidt正交化方法

如果?1,?2,?,?s线性无关，则经过正交化、单位化可以得到一个与之等价的标准正交向量组。

正交化、单位化的公式。 3． 正交矩阵

定义：正交矩阵

定理：n阶实矩阵A是正交矩阵?A?AT?1?A的行（列）向量组是标准正交向

量组。

【例2】 若上三角实矩阵A是正交矩阵，则A是对角阵，且主对角元是?1。 【例3】 若n阶实矩阵A是正交矩阵。则

（1）当A?1时，且n是奇数时，1是A的特征值； （2） 当A??1，-1是A的特征值；

（3） 若B也是n阶正交矩阵，且AB?0，则A?B?0。

二．实对称矩阵

1．实对称矩阵的基本性质（三条）：假设A是实对称矩阵，则

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（1） 实对称矩阵的特征值是实数；

（2） 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交； （3） 存在正交矩阵Q，使得QTAQ是对角阵。

2． 正交矩阵Q及对角阵QTAQ的计算。要注意与相似对角化的区别。

?101??? 【例4】假设A??000?。求正交矩阵Q，使得QTAQ是对角阵。

?101????1???【例5】设三阶实对称矩阵A的特征值为3，1，1，???1?是A的相应于

??1???特征值3的特征向量。求A。

法一. 求正交阵；

法二. 用相似对角化方法。

【例6】假设A是n?n实对称矩阵。证明：存在实对称矩阵B，使得A?B。 【例7】假设A是实对称矩阵。证明：若存在m使得A?O，则A?O。

三．二次型的矩阵

二次型的矩阵都是对称矩阵，两者一一对应。 可逆线性变换与矩阵的合同关系两者一一对应。

222 【例8】求二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?6x1x2?8x2x3的矩阵。

m3【例9】假设M是n?n矩阵（不一定是对称的）。求二次型f(X)?XMX的矩阵。 四．标准形、惯性定理与规范形

1． 标准形的计算

配方法：

222【例10】二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x2x3

T 注：应是可逆线性变换，故，变换前后变量个数相同。 正交变换的办法：完全化成矩阵问题

【例11】已知实二次型f(x1,x2,x3)?3x1?ax2?x3?4x2x3在一正交变换下

222可以变成3y1。求a,b及一个合适的正交变换。 ?3y2?by32222． 惯性定理，正、负惯性指数

定理：惯性定理

定义：二次型的秩和正、负惯性指数

命题：二次型的秩和正、负惯性指数可以由其矩阵的特征值确定。

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