几何与代数各章知识点概述

几代复习指导 目 录

行列式 矩阵的运算

矩阵的初等变换和矩阵的秩 向量组的线性相关性和向量组的秩 线性方程组

相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量实对称矩阵和二次型 空间解析几何

第一部分 第二部分 第三部分 第四部分 第五部分 第六部分 第七部分 第八部分

第一部分 行列式

一．定义

1．定义 设A?aij??n?n，则A?i1,i2?in?(?1)?(i1,i2?in)a1i1a2i2?anin

是n!项代数和；不同行，不同列；正、负号。

【例1】

a32a24a13a42是不是4阶行列式中展开式中的项，正、负号是什么？

不是

【例2】

5x123xx12中x3,x4的系数。?5x3,10x4

12x3x122x2．注：（1）. 对角线法则一般地不再成立。举例。 （2）. 记住上、下三角阵的行列式。 二．性质

1． 性质

（1） 行列式的基本性质； （2） 按行（列）展开； （3） 乘法定理。 2． 需记住的结果：

（1） Vandermonde行列式；

（2） 分块上、下三角阵的行列式。 3． 例：

【例3】

已

知

A3????3??，1?2B3?3???1??22?2?3?3?2?2?3?，A?2，求B。

B??1??2?7?3?2?2?3??1??2?7?3?2??1?7?3?2?7A?14

?120??200?????3?1【例4】已知A??561?,B??350?。求AB。

?350??461?????4． 注：

2

（1） 矩阵的加法、数乘之后的行列式； （2） 容易出现的错误：

27352r?7r23210?11； 27352r?2/7r0*2?7r1,r120*; （3） 分块矩阵的行列式.

三．计算

1． 典型方法：

（1） 化成低阶行列式； （2） 化成三角形行列式。

2． 注：很少直接用定义计算；应先化简，后计算。 3． 例

【例5】

13141516；

2013【例6】

3?1210231； 23141??1111【例7】

11??211111??31，?1,?2,?3,?4均不为零；1111??41?a1?1【例8】

22?a?2????；

nn?n?a123?n?1nn12?n?2n?1【例9】

n?1n1?n?3n?2??????；

345?12234?n1 3

ab?bca?b【例10】Dn?；

????cc?a

第二部分 矩阵的运算

一．矩阵的乘法

1． 运算规律

?12????2?1?【例1】?23???，

?01??01????3??3????1?120????，?1??210?， ?2??2???????3??????1210??????。 ??2??????【例2】假设e是n维非零列向量，A?E?ee。证明：A是对称矩阵，

且A?A?ee?1。

2． 应当注意的问题

（1） 矩阵记号与行列式记号的差别；

（2） 单位矩阵（用E或I表示）的每个元素都等于1吗？ 不是 （3） 矩阵乘法含有非零零因子，因而乘法消去律不成立；

2TTn?01???0??。 【例3】 N????1???0??【例4】 As?n满足满足什么条件时，由AB?AC就能推出B?C？ r?As?n??n

（4） 矩阵乘法不可交换，因而一些代数恒等式不再成立。

4