概率论与数理统计试卷

?114． ?(pk?n)=2. (?(2pk?n)?3)

22k?1k?1??1?e??x,x?0?1?e??x,x?05． F(x)??. (F(x)??)

elseelse?0,?0,6． 2a?b?4. (a?b?2) 7． E(X?S2)=2?. (E(2X?S2)=3?) 8． ?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y). 9． fYX(yx)?10. k=

f(x,y)fX(x). (fXY(xy)?f(x,y)fY(y))

12. (k=?) 2?二、概率论试题(45分)

1、(8分) 某商店拥有某种产品共计10件，其中2件次品，并已售出2件.现从剩下的8件产品中任取一件,用全概率公式求这件是次品的概率.

解：用Ai表示已售出2件产品中有i件次品, 用B表示从剩下的8件产品中任取一件为次品,由全概率公式

P （4分） （B）=P（BA0）（PA0）+P（BA1）（PA1）+P（BA2）（PA2）12C8222C81C20718 ?2+2+2= （4分） ??C108C108C10845454522、(8分) 设随机变量X?N(50,5)，求概率P(50?X?80).(计算结果用标准正态分布的分布

函数?(x)表示)

解: P(50?X?75(or80))?P(0?X?50?5(or6)) (4分) 5??(5(or6))??(0)??(5(or6))?0.5 (4分)

3、(8分)已知每一毫升血液中，白细胞数平均是7300,均方差是700,用切比雪夫不等式估计每毫升

?2含白细胞数在4500~10100之间的概率. （注：切比雪夫不等式为P?X??????2）

?解: 用X每一毫升血液中的白细胞数,由切比雪夫不等式可得

P?5200(4500)?X?9400(10100)?

?P??2100(2800)?X?7300?2100(2800)? (4分)

7002815?() (4分) =P?X?7300?2100(2800)??1?(2100(2800))29164

、

(12

分

)设

随

机

变

量

(XY,具有概率密度函数

?3x，0?x?1,0?y?x.Z?X?Y, (1)求Z的概率密度fZ(z)；(2)求X与Y的数f(x,y)??0，其它?学期望E(X)、E(Y)；(3)求协方差Cov(X,Y).

解：由

???x2???x,y???f(x,y)dxdy??dx???2?（y?x）??????Ae2?2x2?2xy?y2dy (3分)

1??e????dx???????Aedy ?A?e??2???x2dx?e?tdt??A?1得A?????? (3分)

fX(x)????Ae?2x2?2xy?ydy?Ae?x2??1?2e?x (3分)

12 (B?1? fY(y)??????Be?2x2?2xy?y2dx?Be?y???e?y )

25、(9分)已知(X,Y)的概率密度函数

f(x,y)?Be?x2?2xy?2y2,???x,y???，求B与

Y的概率密度函数fY(y).

?3x，0?x?1,0?y?x)设随机变量(X,Y)具有概率密度函数f(x,y)??.Z?X?Y, (1)求

0，其它?Z的概率密度fZ(z)； (2)求X与Y的数学期望E(X)、E(Y)；(3)求协方差Cov(X,Y).

解：(1)由??0?x?1?0?x?1即?可得 (1分)

0?z?x?xx?z?2x????fZ(z)????f(x,z?x)dx

0,z?0??z??z3xdx?9z2,0?z?18?2?? (4分)

13?z3xdx?(1?z2),1?z?2??22?1,z?2?1x1323(2)E(X)??dx?3xdy??3xdx? (2分)

0004333xdx? (2分)

000281x13324(3)E(XY)??dx?3xydy??xdx? (1分)

0002103333Cov(X,Y)??? (2分)

1048160E(Y)??dx?3xydy??1x1三、数理统计试题(25分)

1、(8分)设X1,X2?,X31是来自总体N(?,15)的简单随机样本，S为样本方差，计算

2P?1?S2?6?(计算结果用?2(30)分布的分布函数F(x)表示).

解: 由

(n?1)S2?2(31?1)S2??(n?1)得?2S2??2(30)

152P?1?S2?5(6)??P?2?2S2?10(12)??F(10(12))?F(2)

2、 (9分) 设总体X为?2?,3??上的均匀分布,X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，

x1,x2,?,xn为相应的样本值.求未知参数?的矩估计与极大似然估计.

?1?1,??x?2???,2??x?3?解：(1)X的密度函数f(x)???(f(x)???) (2分)

??elseelse?0,?0,33??2X为其矩估计. (2分) xdx??，由??X得???2323?155??2X为其矩估计.) xdx??，由??X得?(E(X)??2??2521(2)似然函数 L(?)?n,??x1,x2,?xn?2? 为?的减函数 (3分)

E(X)??2?1?(L(?)?1?n,2??x1,x2,?xn?3? 为?的减函数)

1max?x1,x2,?xn????min?x1,x2,?xn?时, L(?)为?的减函数， 211(既当 max?x1,x2,?xn????min?x1,x2,?xn?时, L(?)为?的减函数)

32??1max?xx,?x?为?的最大似然估计 (2分) 可得?1,2n2??1max?xx,?x?为?的最大似然估计) (可得?1,2n3既当

3、(8分)设某次考试的成绩服从正态分布，现随机抽取36名考生的成绩，已知样本均值为66.5, 样本均方差为15.问在显著性水平??0.05下，能否认为这次考试全体考生的平均成绩为70.（注：即对 H0:??70,H1:??70进行检验）

供查阅的参考数值(t0.025(35)?2.0301,t0.025(36)?2.0281) 解: H0:??70检验统计量t?H1:??70 （2分）

x?70，拒绝域t?t0.025(35)?2.0301 （2分）

15n而t?66.5?70?1.4?2.0301 （2分）

1536因而接受H0，即认为这次考试全体考生的平均成绩为70

（2分）