概率论与数理统计试卷

1、(8分) 三人独立去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为p,q,r,求三人中至少有一人能将密码译出的的概率.

（A?B?C）解：用A、B、C，分别表示三人译出该份密码,所求概率为P （2分） 由概率公式 P P C （4分） （A?B?）C=1-（PA）BC=1-（）（PA）（PB）1-p）（1-q）（1-r） =1-（ （2分）

2、(8分) 设随机变量E(X)?1,D(X)?2,E(Y)?3,D(Y)?4,?XY?0.5，求数学期望E(X?Y)与方差D(2X?3Y).

（X）+E（Y）=1+3=4 （3分） 解：(1) E(X?Y)=E(2)D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?12Cov(X,Y) （3分） ?8?36?12?XYD(X)D(Y)?44?122 （2分）

3、 (8分) 某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命Ti相

互独立，记T??16i?1iT，用中心极限定理计算P{T?1920}的近似值(计算结果用标准正态分

布的分布函数?(x)表示).

解：E（Ti）=100，（DTi）=1002，（ET）=1600，（DT）=160000 （3分）

T?E(T) （5分） P{T?1920}?P{?0.8}?1??（0.8）D(T)( 说明T?E(T)近似服从正态分布可得4分)

D(T)4、 (10分)设随机变量X具有概率密度f(x)???x，?1?x?1?0，其它3??. 2?,Y?X?1.

2 (1)求Y的概率密度fY(y)； (2) 求概率P??1?Y???解: (1)y?1时F（）=0,y?2时F（）=1 （1分） YyYy1?y?2,F（）=P{Y?y}?P{X?1?y}??Yy?2?y?102y?1?y?1f(x)dx （2分）

xdx?y?1 （2分）

?）=?概率密度函数fY(y)=F（Yy???1,1

?0，其它(2) P??1?Y?3?311. （3分） ?F（）-F（-1）=?0??YY2?2225、 (11分) 设随机变量(X,Y)具有概率分布如下,且PX?Y?1X?0???1. 3X Y 0 1 -1 0 0 1 1 31 4p 1 12q (1)求常数p,q； (2)求X与Y的协方差Cov(X,Y),并问X与Y是否独立? 解: (1) 1?1?134?p?q?1，即p?q?1 （2分） 123P?X?Y?1，X?0?P?Y?1，X?0?p1???（2分） 由P?X?Y?1X?0??13P?X?0?P?X?0?p?3可得p?q?X P 0 12 1 （1分） 61 -1 0 1 Y P 71112 12 6 4

（X）=1, E（Y）=-1, E（XY）=-1 （3分） (2)E236（X,Y）=E（XY）-E（X）（EY）=0 （2分） CovX由Pij?Pi.P.j可知

三、数理统计试题(25分)

与Y不独立 （1分）

S为样本方差， 1、(8分)设X1,X2?,Xn是来自总体N(?,?)的简单随机样本,X为样本均值，

证明22X???t(n?1). Sn22X??(n?1)S2X??(n?1)S证明:由于,且相互独立（4分） ?N(0,1),??(n?1)与22????nnX??(n?1)S2?因此n(n?1)S2?2?t(n?1),即?2n?1X???t(n?1) （4分） Sn2、 (10分) 随机变量X?N(?,?2),?,?2未知,X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，

x1,x2,?,xn为相应的样本值.求未知参数?,?2的的最大似然估计, 并问是否为未知参数

?,?2的无偏估计量?

?n(xi??)2?exp???解：似然函数 L(?,?)?? 2n2?(2??)?i?1?21n(xi??)2nn2lnL??ln(2?)?ln(?)?? （4分） 2222?i?1n(xi??)2?lnLnxi???lnLn由??2?0,??2???0 24?????2?2?i?1i?11n1n2???xi,????(xi??)2为?,?2的最大似然估计 (2分) 可得?ni?1ni?1?)??,E(??)?由E(?2n?1n1n1n2???xi为?的无偏估计量，???(xi??)2为?2的有??可知?ni?1ni?12偏估计量 (4分)

3、(7分) X1,X2,?,X9为来自总体X~N(4.55,0.108)的简单随机样本,现测得样本均值为4.73.若估计方差没有改变, 可否认为总体均值仍为4.55(??0.05)? 供

查

阅

的

参

考

数

值

2(z0.025?1.96,z0.05?1.65) 解

：

H0:??4.55检验统计量z?H1:??4.55（2分）

x?4.55，拒绝域z?z0.025?1.96 （2分）

0.018n?5?1.96 （1分）

而z?0.180.036因而拒绝域H0，即不认为总体的均值仍为4.55 （2分）

2010─2011学年 第二学期

一、填空题(每题 3 分，共 30分)

1． 若A与B相互独立，且P(A)=,P(B)=131,则P(AB)= . 52． 设随机变量X服从二项分布b(n,p)，则其数学期望E(X)与方差D(X)分别为 、 .

3． 将m只球随机放入M(M?m)个盒子中去，则每个盒子中至多有一只球的概率为

. 4． 设X的分布律为P{X?xk}?pk,k?1,2,?，则

?(2pk?k?1?1)= . 2k??e??x,x?05． 设X的概率密度函数f(x)??,则其分布函数F(x)= .

else?0,6． f1(x)为标准正态分布的概率密度函数，f2(x)为?-2,2?上均匀分布的概率密度函数，若

?af1(x),x?0为概率密度函数,则常数a、b满足 . f(x)??bf(x),x?0?227． 设X服从参数为?的poisson分布，X、S为样本均值与样本方差，则E(2X?S2)=

. 8． (X,Y)为二维随机变量, 已知X与Y有非零的方差D(X)与D(Y),协方差为Cov(X,Y)，

则X与Y的相关系数?XY? .

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9． 已知(X,Y)的概率密度函数f(x,y)与Y的概率密度函数fY(y), 则在Y?y 条件下

Y的概率密度函数fXY(xy)? . 1n210. 随机变量X?N(?,?),X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本， Y??（Xi-?）??2(n),

ki?12则常数k= . 1． P(AB)=

18. (P(AB)=) 2152． np、np(1?p).

nAN3．

mAM. (

NnMm)