概率论与数理统计试卷

?2已知，则关于原假设???0的检验统计量Z= X??0?3． 设X的分布律为P{X?xk}?pk,k?1,?,n，则

.

n?nk?1pk= 1 . 4． 某学生的书包中放着8本书，其中有5本概率书, 2本物理书,1本英语书,现随机取1本书,则取

到概率书的概率为5

85． 设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(??)= 1 . 6． 设X在(0,1)上服从均匀分布,则D(X)=112.

7． 设X?N(0,1),Y?N(1,2),相关系数?XY?1，则方差D=3?22. （X?Y）??e??x,x?0（?>0）8． X与Y独立同分布,X的密度函数为f(x)??，,Z?min?X,Y?,则数学x?0?0,期望E?Z?=12?.

??9． (X,Y)概率密度为f(x,y),则X的概率密度fX(x)=???f(x,y)dy .

22210. X与Y独立且均服从标准正态分布,则X?Y服从?（分布. 2）二、概率论试题(45分) 1、(8分) 某人群患某种疾病的概率约为0.1%,人群中有20%为吸烟者,吸烟者患该种疾病的概率约为0.4%,求不吸烟者患该种疾病的概率(用A表示人群中的吸烟者, 用C表示某人群患该种疾

（C）=0.1%). 病,P（C）=0.1%，P（A）=0.2，P解：P（CA）=0.4% （2分）

（C）=P（CA）（PA）+P（CA）（PA）由全概率公式 P （4分） （CA）=0.025% （2分） 可得 P2、(10分) 设随机变量X的分布函数为F(x)?0.4?(x)?0.6?(x?1)，其中?(x)为标准正态2（x）=??(x)). 分布的分布函数，求X的密度函数f(x)、数学期望E(X)与方差D(X)(记?解: X的密度函数f(x)?F?(x)?0.4?(x)?0.3?(数学期望E(X)?x?1) （2分） 2?????xf(x)dx?0.3?????????x?(x?1)dx （2分） 2 =0.6?(2t?1)?(t)dt?0.6 （2分）

E(X)?2?????xf(x)dx?0.4?2????x?(x)dx?0.3?2????x2?(x?1)dx 2 =0.4?0.6?????(2t?1)2?(t)dt?0.4?0.6(4?1)?3.4 （3分）

2方差D(X)?E（X2）-E（X）=3.4-0.36=3.04 （1分）

?122?，0?x?y?13、(9分)设随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)???.

?其它?0，(1)求X的边缘概率密度；

(2)验证X与Y是不相关的,但X与Y不是相互独立的.

?1?x2121?x2?dy=,?1?x?1解：(1)X的概率密度为fX(x)????1?x2?（2分） ??0，其它?（X）=0, E（Y）=0, E（XY）=0 （3分） (2)E（X）=E（XY）-E（X）（EY）=0,即X Cov与Y是不相关的 （2分）

由f(x,y)?fX(x)fY(y)可知X与Y不相互独立 （2分）

（0，10）3、 (9分) 一加法器同时收到48个噪声电压Vk(k?1,?,48)，它们相互独立且都在区间

服从均匀分布，记V??48k?1Vk，用中心极限定理计算P{V?250}的近似值.( 说明V?240近

20似服从正态分布可得4分。)

100，（EV）=240，D（V）=400 （4分） 12V?24010P{V?250}?P{?}?1??（0.5）=0.31 （5分）

20201 5、(9分) 设X为离散型随机变量，P?X?i??(i??1,1).Y为连续型随机变量， 其条件概

2（Vi）=5，D（Vi）=解： E?14,?2?y?x?2（y）率密度为fYX(y)??.求Y的分布函数F与Y的概率密度函数f(y).

其它?0,

Fy）=0,y?3时（Fy）=1 （1分） 解: y??3时（F（y）=P{Y?y}?P{Y?yX??1}P{X??1}?P{Y?yX?1}P{X?1}（3分）

1y1y?3?dy??2??348?y11y1y?2??[??3dy???1dy]? ?2444?111y1y?5?[??3dy???1dy]?448?2???1?4??y）=?1（概率密度函数f(y)=F8?0??三、数理统计试题(25分)

?3?y??1?1?y?11?y?3 （3分）

?1?y?1?3?y??1,1?y?3 （2分）

其它 1、 (9分)设总体X服从二项分布b(n,p)，X1,?,Xm(m?2)是总体X的简单随机样本.X为样本均值，S为样本方差，T?X?kS，其中k为常数. (1) 求E(T)；（2）问当k为何值时T为np2的无偏估计量？ 解：（1） E(X)?np,E(S2)?npq（q?1-p）22 (4分)

E(T)?np?knpq?np(1?kq) (1分)

2（2）由E(T)?np可知 k??1 (4分)

??x??1,0

?10?x?dx????1 (3分) 由

x?x得???为?的矩估计(1分) ??11?x???1似然函数 L(?)??n(x1?xn) (2分)

???由(lnL(?))??0得???eU?1??1nn?ni?1lnxi为?的最大似然估计 (2分)

?（x1?xn）为U的最大似然估计 (1分)

223、(7分) X1,X2,?,X10为来自总体X~N(6,?)的简单随机样本,?未知.样本 方差s?0.38,

求?的置信水平为0.95的双侧置信区间.

2

解：由

（n-1）S2?222

??（n-1） (2分)可得?的置信水平为0.95的双侧置信区间为

(n?1)S2(n?1)S2（0.18，1.27） (1分) (2,2) (4分)代入数值的

?0.025(9)?0.975(9)

2009─2010学年第二学期《概率论与数理统计》

一、填空题(每空 3 分，共 30分)

1． 在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 样本容量 . 2． 设随机变量X具有数学期望E(X)??与方差D(X)??2，则有切比雪夫不等式

P?X???2???14 .

3． 设X为连续型随机变量,a为实常数，则概率P{X?a}= 0 . 4． 设X的分布律为P{X?xk}?pk,k?1,2,?，Y?X,若

?2?xk?1?nkpk绝对收敛(n为正整数),则

E(Y)=?xk2pk.

k?15． 某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率

为17.

6． 设X服从参数为?的poisson分布,则E(2X)=2?. 7． 设Y?N(2,3)，则数学期望E(Y2)= 7 . 8． (X,Y)为二维随机变量, 概率密度为f(x,y), X与Y的协方差Cov(X,Y)的积分表达式为

??????????(x?E(x))(y?E(y))f(x,y)dxdy .

（3，4）中抽取的样本X1,?,X4的均值, 则P1?X?59． 设X为总体N??＝

2?(2)?1. (计算结果用标准正态分布的分布函数?(x)表示)

10. 随机变量X?N(0,?),X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本， Y?k(常数k=1.

2?X)ii?1n2??2(1),则

n?2二、概率论试题(45分)