概率论与数理统计试卷

课程考试试卷( B卷) 参考答案与评分标准

一、填空题(每空 3 分，共 30分)

1． 设事设事件A与B互不相容，P(A)=p, P(B)=q，则P(A?B)=p+q 2． 设事件A与B相互独立，P(A)=p, P(B)=q，则P(A?B) = p?q?pq 3． 设X服从参数为?的Poisson分布，则D(3X)?9?.

4． 一不透明的暗箱中放着11只球，其中有5只红球,现有8人依次随机取1只球,则第6人取到

红球的概率为511.

5． 设X服从二项分布b(n,p)，则D(X)?np(1?p). 6． 设X在(?5,5)上服从均匀分布,则P??3?X?4??7. 107． 设X?N(0,1),Y?N(1,4),?XY?1，则P?Y?2X?1??1.

8． X1,?,Xn是总体X的简单随机样本,总体X的分布函数为F(x)，Z?min?X1,?,Xn?,则Z的分布函数为FZ(z)=1-(1?F(z)). 9． X~n?2(n)，X1,?,Xm是总体X的简单随机样本，X为样本均值，则D(X)?2nm

10．Z?X?Y的概率密度fZ(z)?二、概率论试题(40分)

?????f(x,z?x)dx(or?????f(z?y,y)dy)。

1、(10分) 设X与Y相互独立,P?X?i??1(i??1,0,1)，Y的概率密度为3?10?y?1,记Z?X?Y,用全概率公式求P?Z?1.4?. fY(y)??0其它?解：由全概率公式有

?1分??P?Y?2.4?P?X??1??P?Y?1.4?P?X?0??P?Y?0.4?P?X?1?P?Z?1.4??P?X?Y?1.4?1?(P?Y?2.4??P?Y?1.4??P?Y?0.4?)31?(1?1?0.4)?0.8?3分?3?4分?

?2分?2、(10分) (X，Y)服从二维正态分布，(X，Y)服从二维正态分布,证明当

b2?D(X)/D(Y)时随机变量W?X?bY与V?X?bY相互独立.

证：由(X，Y)服从二维正态分布可知(W，V）服从二维正态分布，W与V相互独立与

Cov(W,V)?0等价。 （3分）

由Cov?W,V??E(WV)?E(W)E(V)?E(X2?b2Y2)?(E2(X)?b2E2(Y))?(E(X2)?E2(X))?b2(E(Y2)?E2(Y))?D(X)?b2D(Y)?0可得b2?D(X)D(Y)(1分)?3分??3分?

3、 (12分) 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度为f(x,y)?? (1)求Y的边缘概率密度； (2)求Y的数学期望与方差； (3)求协方差Cov（X，Y）。 解：（1）Y的边缘概率密度为

?x?y,0?x?1,0?y?1

其它?0,1?1x+y）dx=y?,0?y?1??（fY(y)??0。 （4分） 2?0，其它?（2）

17E?Y???y(y?)dy?021212?2分?2155?7?11E?Y2???y2(y?)dy?,D?Y??????021212?12?144712E?XY???dy?xy(x?y)dy?0011

?2分?(3) E?X??13?2分?

17?-1 cov?X,Y??E?XY??E?X?E?Y??-????3?12?1442?2分?

4、 (8分) 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5，

均方差为0.1，用中心极限定理计算4900只零件的总重量超过2464的概率（用Xi表示第i只零件的重量）.

?4900?X?2450?i?14??4900??i?1?PX?2464?P??1???2??0.02????i解： ??70?0.170?0.1i?1???????

?2分?4900?4分?近似服从正态分布可得4分。

?2分?注：说明

?Xi?1i?245070?0.1

三、数理统计试题(30分)

1、 (7分)设总体X~N(?,?) ，X1,?,Xn(n?2)是总体X的简单随机样本.

2 （1）X为样本均值，S为样本方差，T?X2?1，求E(T)； nS22（2）问T是否为?2的无偏估计量？ 解：（1） E(X)?D(X)?E(X)?22?2n??2,E(S2)??2?4分?

E(T)??21??2??2??2 (1分) nn22（2）由E(T)??可知 T为?的无偏估计量 (2分)

??(??1)x??1(1?x),0?x?12、 (7分)随机变量X的概率密度为f(x)??。X1,X2,?,Xn为

0,其它?总体的一个样本，x1,x2,?,xn为相应的样本值.求未知参数?的矩估计量. 解：

E?X????(??1)(x??x??1)dx???01?(??1)????2??2?4分?

由??2x即为?的矩估计量.(3分)?x得???21?x?3、(7分)设某产品的某项质量指标服从正态分布，它的标准差??150，现从一批 产品随机抽

取16只，已知样本均值为1637.问在显著性水平??0.05下，能否认为这批产品的该项指标的平均值为1600.（注：即对 H0:??1600,H1:??1600进行检验）

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解： H0:??1600H1:??1600?1分?

由?2已知，检验统计量为 Z=拒绝域求得Z?X-1600Z?Z0.025n?1.96?2分?

??1分?

37?Z0.025?1.96?2分?30因而接受H0.即有理由认为平均值为1600?1分?4、(9分) X1,X2,?,Xn为来自正态总体X~N(?,0.92)的简单随机样本.

(1) 为使?的置信水平为0.95的双側置信区间的长度不超过1.0,问n至少取 多少？请说明理由.

(2) 若样本均值x?1.524,求P?X?3?的最大似然估计值. 解：（1）?的置信水平为0.95的双側置信区间?X?????z0.025?,n?

由?的置信水平为0.95的双側置信区间的长度区间L?2?z0.025?1 (3分) n得n?(2?z0.025)2?(2?0.9?1.96)2?12.44，故至少取13. (2分)

(2) P?X?3??P?3???X??3??????() (2分) ?0.9?0.9?0.9由于X为为?的最大似然估计，因而P?X?3?的最大似然估计为

?(3?x3?1.524)??()??(1.64)?0.95 (2分) 0.90.92008─2009学年第二学期《概率论与数理统计》

一、填空题(每空 3 分，共 30分)

1． X~N，X1,?,Xn是总体X的简单随机样本，X,S2分别为样本均值与样本方差，（?，?）2?2未知，则关于原假设???0的检验统计量t= X??02S. n2． X~N，X1,?,Xn是总体X的简单随机样本，X,S2分别为样本均值与样本方差，（?，?）