高三数学解题方法谈：解复数题的“思维策略”

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解复数题的“思维策略”

复数集是实数集的扩充，实数集上的运算律仍适用．单纯的复数加、减、乘、除理解起

来并不是太难，但若涉及到复数方程，复数求最值等问题，则需要我们根据不同题型，选择恰当的思维策略来解决．下面列举的几种思维策略，希望在解复数题时对同学们有所帮助． 一、化虚为实的思维策略

利用复数的代数形式将复数问题转化为实数问题是一种最常见的解题策略． 例１ 已知复数z，解方程z?3i?z?1?3i．

解：设z?x?yi(x，y?R)，则方程可化为(x?3y)?(y?3x)i?1?3i．

5?x??，?，?x?3y?1?4 由复数相等，有?解得?．

3y?3x?3，??y??.??4 ∴z??53?i． 44 二、分类讨论的思维策略

分类讨论是指按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况逐一求解的过程，这也是一种常见的解题策略．

例2 设方程x?2x?k?0的根分别为?，?，且????22，求实数k的值． 解：若?，?为实数，则??4?4k≥0且??? 解得k??1．

若?，?为虚数，则??4?4k?0且?，?共轭，??? 综上，k??1或k=3． 注：盲目套用???2222?(???)2，

??(???)2，解得k=3．

?(???)2??2??2?2??是本题极易出现的错误！

三、整体处理的思维策略

整体处理是数学解题策略中的又一种重要的思维方法，运用它处理问题，往往能收到简洁明快，事半功倍的效果．

3 例3 如果虚数z满足z?8，那么z?z?2z?2的值是_____．

32 分析：若设z?a?bi(b?0)，代入求值，过程复杂，不易求解，但运用整体代入的思维策略则显得简洁明快．

解：∵z?8，?(z?2)(z?2z?4)?0． ∵z是虚数，∴z≠2．

2 ∴z?2z?4?0，即z?2z?2??2．

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故z?z?2z?2?8?2?6．

四、数形结合的思维策略

由于复数既可用代数形式，也可用几何形式表示，这使复数的各种运算都具有了几何意义，因此复数解题时常以形助数，数形结合，使问题的解决更加形象．

例4 复数z1?1?2i，z2??2?i，z3??1?2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

解法１：如图，设复数z1，z2，z3所对应的点分别为Ａ、Ｂ、Ｃ，正方形的第四个顶点

32Ｄ对应的复数为x?yi(x，y?R)，则

???????????? AD?OD?O(?A?ix)?y(1?2i)?，(x?1?) y?????????????BC?OC?OB?(?1?2i)?(?2?i)?1?3i， ?????????AD?BC，?(x?1)?(y?2)i?1?3i， ，?x?1?1?x?2，则?解得?

y?2??3，y??1.?? 故点Ｄ对应的复数为2?i． 注：利用向量运算法则求复数关键是找出所求复数对应的向量，然后再根据几何意义求出复数．

解法2：如图，设复数z1，z2，z3所对应的点分别为Ａ、Ｂ、Ｃ，正方形的第四个顶点

Ｄ对应的复数为x?yi(x，y?R)，

∵点Ａ与点Ｃ关于原点对称，

∴原点Ｏ为正方形的中心，则Ｂ、Ｄ关于Ｏ点对称，即

(?2?i)?x(y?，i?)x?0，?y2． ?? 故Ｄ对应的复数为2?i．

小结：解法１一定要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法；解法2利用正方形是对称图形，数形结合解题思路巧妙．解法2实质是运用了平行四边形对角线互相平分的性质．

五、函数与方程的思维策略

函数与方程思想的实质是提取问题的数学特征，用联系变化的观点看待数学对象，建立函数关系，实现函数与方程的相互转化，以达到解决问题的目的．

例5 已知关于x的方程x?zx?4?3i=0有实数根，求复数z的模的最小值．

2x2?4?3i4?3? 解：设x?R且x?0，则z?????x???i，

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4??3?25?2 z??x??????x?2?8≥32，

x??x?x? 当且仅当x?22225，即x??5时取等号，故zmin?32． 2x2点评：虚系数方程有实根，不能得出??z?16?12i≥0，只说明x可以取实数，故虚系数一元二次方程不能用判别式判断方程是否有实根．

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