集体备课

第四节 数列求和

最新考纲1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题

知识回顾

1．等差、等比数列的前n项和公式 (1)等差数列：

(2)等比数列：

2．一些常见数列的前n项和公式

3.基本求和的方法：

双基落实

基础盘查 数列求和的常用方法

1．判断正误

111

(1)当n≥2时，2＝－( )

n－1n－1n＋1

(2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋?＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得( )

(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 1°＋sin2 2°＋sin2 3°＋?＋sin2 88°＋sin2 89°＝44.5( )

(4)若Sn＝1－2＋3－4＋?＋(－1)n1·n，则S50＝－25( )

－

nπ

2．数列{an}的通项公式为an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 015等于( )

2A．1 002 B．1 004 C．1 006 D．1 008

11111

3．(人教A版教材习题改编)数列1，3，5，7，?，(2n－1)＋n，?的前n项和

248162Sn的值等于________

111

4．设an＝1＋2＋3＋?＋n，则Sn＝＋＋?＋＝________.

a1a2an 考点突破

考点一 公式法求和|(基础送分型考点——自主练透)

[题组练透]

1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则{an}的前n项和Sn ＝( ) A．n(n＋1) B. n(n－1) C.

n?n＋1?n?n－1?

D. 22

2．若等比数列{an}满足a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前n项和Sn＝_______ 3．(2013·重庆高考)设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；

(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.

[类题通法]

考点二 分组转化法求和|(重点保分型考点——师生共研)

[典题例析]

(2014·山东高考)在等差数列{an}中，已知公差d＝2, a2是a1 与a4 的等比中项． (1)求数列 {an}的通项公式；

n?n＋1?

(2)设 bn＝a，记 Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－?＋(－1)nbn，求Tn .

2

[类题通法]

分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；

??bn，n为奇数，(2)通项公式为an＝?的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数

?cn，n为偶数，?

列，可采用分组求和法求和．

[演练冲关]

已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q＞1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；

1??

(2)设?bn＋3an?是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.

?

?

2

考点三 错位相减法求和|(题点多变型考点——全面发掘)

[一题多变]

[典型母题]

(2014·四川高考)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)． (1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn； (2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1?an?，求数列?b?ln 2?n?的前n项和Tn[解] (1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝4×2a7＝2a7＋2， n?n－1?解得d＝a8－a7＝2.所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n. 2(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 111它在x轴上的截距为a2－.由题意知，a2－＝2－，解得a2＝2. ln 2ln 2ln 2n－1n123所以d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，所以Tn＝＋2＋3＋?＋n－1＋n， 22222123n111n1n2Tn＝＋＋2＋?＋n－1.因此，2Tn－Tn＝1＋＋2＋?＋n－1－n＝2－n－1－n＝12222222222n1－n－22n1－n－2.所以Tn＝. 2n2n＋＋[题点发散1] 在本例条件下，证明：数列{bn}为等比数列．

[题点发散2] 在本例(2)条件下，求数列{anb2n}的前n项和Sn.

[类题通法]

用错位相减法求和的注意事项

(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；

(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

考点四 裂项相消法求和|(常考常新型考点——多角探明)

[多角探明]

3

1

角度一：形如an＝型

n?n＋k?

2

1．(2014·广东高考)设各项均为正数的数列{an} 的前n 项和为Sn ，且 Sn满足 Sn－(n2

＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1 的值；(2)求数列{an} 的通项公式；

1111(3)证明：对一切正整数n ，有＋＋?＋<.

a1?a1＋1?a2?a2＋1?an?an＋1?3

角度二：形如an＝

1

型

n＋k＋n

1

2．(2015·江南十校联考)已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈

f?n＋1?＋f?n?N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 014＝( )

A.2 013－1 B.2 014－1 C.2 015－1 D.2 015＋1 n＋1

角度三：形如an＝2型

n?n＋2?222

3．(2013·江西高考)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an；

n＋15*(2)令bn＝. 22，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N，都有Tn<64?n＋2?an

222解：(1)由S2n－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0，得[Sn－(n＋n)](Sn＋1)＝0.

由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.

(2)证明：由于an＝2n，bn＝1?n＋1n＋11?1

2－2. 22＝22＝?n＋2?an4n?n＋2?16?n?n＋2??

11111111

Tn＝?1－32＋22－42＋32－52＋?＋?n－1?2－?n＋1?2＋

16?

11?1?111?1?1?5

1＋2－2－1＋2＝2－2

[类题通法]

利用裂项相消法求和的注意事项

(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项1?1?11?111?1

－－相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝

anan＋1d?anan＋1?anan＋22d?anan＋2?【小结】

知识点： . 数学思想方法： .

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