2014届高三专题复习篇专题一 第一讲

3． 方程x2－3

2

x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是( )

A．m≤－916 B．－916

2 C．m≥52 D．－95

16≤m≤2 答案 D

解析 m＝x2－32x＝??x－34??2－9

16，x∈[－1,1]． 当x＝－1时，m取最大值为5

2

，

当x＝34时，m取最小值为－916，∴－9516≤m≤2

. 4． 已知函数f(x)＝?1?3??x

，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为( A．－1 B．1 C.22

3 D．－3 答案 D

解析 由题设，得a－c＝1

1＝f(1)3－c；

a＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－2

29；

a23＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－27

， 又数列{an}是等比数列，

∴??－29??2＝?1?3－c??×?2

?－27??，∴c＝1. 又∵公比q＝a31a＝，

23

所以a21n＝－3??3??n－1＝－2?1?3??n，n∈N*. 因此，数列{an}是递增数列， ∴n＝1时，a有最小值a2

n1＝－3

.

)

5． 对于满足0≤p≤4的实数p，使x2＋px>4x＋p－3恒成立的x的取值范围是__________．

答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)

解析 x2＋px>4x＋p－3对于0≤p≤4恒成立可以变形为x2－4x＋3＋p(x－1)>0对于0≤p≤4恒成立，所以一次函数f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3在区间[0,4]上的最小值大于0，

?x2－4x＋3>0?

即?2， ??x－1>0

所以x的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．

6． 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，

且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________． 答案 (－∞，－3)∪(0,3)

解析 设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数． 又当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0， 所以x<0时，F(x)为增函数．

因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x>0时，F(x)也是增函数． 因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．

所以F(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(草图如图所示)．

专题限时规范训练

一、选择题

1． 函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )

A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 答案 B

解析 设φ(x)＝f(x)－(2x＋4)，则φ′(x)＝f′(x)－2>0，

∴φ(x)在R上为增函数， 又φ(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0， ∴由φ(x)>0可得x>－1.

故f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．

2． 若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )

A．f(2)

解析 由题意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝ex，即－f(x)－g(x)＝ex，由此解得f(x)

－

－

ex－exex＋exex－ex＝，g(x)＝－，g(0)＝－1，函数f(x)＝在R上是增函数，且f(3)>f(2)

222

－

－

－

e2－e2

＝>0，因此g(0)

2

－

??1，x为有理数，

3． 设函数D(x)＝?则下列结论错误的是( )

?0，x为无理数，?

A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数 答案 C

解析 利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得． 由已知条件可知，D(x)的值域是{0,1}，选项A正确； 当x是有理数时，－x也是有理数， 且D(－x)＝1，D(x)＝1，故D(－x)＝D(x)， 当x是无理数时，－x也是无理数， 且D(－x)＝0，D(x)＝0，即D(－x)＝D(x)， 故D(x)是偶函数，选项B正确；

当x是有理数时，对于任一非零有理数a，x＋a是有理数，且D(x＋a)＝1＝D(x)， 当x是无理数时，对于任一非零有理数b，x＋b是无理数，

所以D(x＋b)＝D(x)＝0，故D(x)是周期函数，但不存在最小正周期，选项C不正确； 由实数的连续性易知，不存在区间I，使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数，选项D正确．

4． 等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于( )

A．7 B．8 C．15 D．16 答案 C

解析 设等比数列{an}的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1＋a3. ∴4a1q＝4a1＋a1q2.∴q2－4q＋4＝0. a1?1－q4?

∴q＝2，∴S4＝＝15.

1－q

5． (2012·陕西)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则

cos C的最小值为( ) A.

3211

B. C. D．－ 2222

答案 C

a2＋b2－c2c2解析 ∵cos C＝＝，

2ab2ab又∵a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2. 11

∴cos C≥.∴cos C的最小值为.

22

x2y2

6． 若a>1，则双曲线2－＝1的离心率e的取值范围是( )

a?a＋1?2A．(1，2) B．(2，5) C．[2，5] D．(3，5) 答案 B

c?2a＋?a＋1??1＋1?2，因为当a>1时，0<1<1，所以2

2

2

2