物理实验报告 - 非线性混沌电路及其同步控制

非线性混沌电路及其同步控制

摘 要 本实验借助数字和模拟示波器，对非线性负阻的伏安特性以及蔡式非线性混沌电路进行研究。实验探究了混沌发生的条件、主要途径和相关特征图像、混沌同步发生的条件和特点。实验中利用示波器采集数据并用Excel画出负阻的伏安特性曲线，观察并记录蔡式电路中其周期振荡、倍周期震荡、乃至混沌的整个演变过程。得出混沌对初始条件具有敏感性的结论，并计算出费根鲍姆常数。

关键词 非线性，负阻，混沌，费根鲍姆常数，混沌同步

一、引言

1963年，洛伦兹（Lorenz）在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，指出在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系。这就是非周期与不可预见性之间的联系。他还发现了混沌现象“对初始条件的极端敏感性” 。他为他的理论打了一个有趣的比方，他说“一只蝴蝶扇动翅膀，就可能在千里以外的地方引发一场飓风”，足以见得微小的初始条件对结果有着巨大的影响。这就是众所周知的“蝴蝶效应”。

迄今为止，最丰富的混沌电路实在非线性电路中观察到的。而蔡式电路是可以产生混沌行为最简单的电路，通过对参数的控制使通向“混沌”的必经之路得以观察。本次试验，加深了我们对非线性和混沌的理解。

二、原理

2.1 混沌及其特点

混沌是服从确定性规律但具有随机性的运动，其主要特征是系统行为对初始条件的敏感

性。系统由倍周期分叉通向混沌，是由定态过渡到混沌的主要条件。 费根鲍姆常数：费根鲍姆发现，动力学系统中分叉点处参量μ的取值μ适常数??n 的收敛服从普

?n?1?μn=4.699，?被称为费根鲍姆常数。在本实验中取n=2，我们定义一个

μn??n?1

非线性参数（为费根鲍姆常数的近似值），?'??2?μ1。该参数可以表征一个非线性系统

μ3??2区域混沌的速度，?'越趋近于?，系统进入混沌就越快。 2.2有源非线性电阻

负阻定义为：当电阻的端电压增加时，流过电阻的电流却随之减少，表现为U-I特性曲

线的斜率为负，这样的电阻称为负阻。自然界中不存在负阻，只有当电路上有电流通过时，才会产生负阻。

常见的实现负阻的电路由正阻和运算放大器构成，其伏安特性曲线如下图1.

图1、有源非线性负阻伏安特性曲线简图 2.3蔡氏非线性电路

如下图2，是一个典型的蔡氏非线性电路。电路中非线性电阻Rn的作用有两个，一是抵消损耗电阻R的阻值，二是使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。它是非线性电路的核心器件，是电路系统产生非线性运动的必要条件。

图2、蔡氏非线性电路图

蔡氏电路可以产生丰富的混沌现象。在一定的初始条件下，微调可变电阻的阻值，我们可以观察到示波器上CH1和CH2的XY模式李萨如图出现了由单周期→双周期→四倍周期→

八倍周期→2n周期→阵发混沌→三倍周期→单倍吸引子→稳定双吸引子的混沌现象。但是，混沌现象对初始值有很大的依赖性。可变电阻的阻值只有在一个很小的范围内，我们才能够观察到混沌现象。其他大部分值的情况下，只能观察到电路的稳定态。 2.4混沌同步

所谓混沌同步是指一个系统的混沌动力学轨道收敛于另一个系统的混沌动力学轨道，以致两个系统在以后的时间里始终保持步调的一致。同步的目的就是在一个相同的具有任意初始条件的响应系统中，从一个驱动系统中恢复给定的混沌轨迹。

本实验中的混沌同步系统是由两个相同的蔡氏电路和一个单向耦合系统构成的。相同的蔡氏电路是指两个电路的元件的参数尽可能的接近，这是确保混沌同步能够实现的基本条件。驱动—响应方法将系统分为驱动子系统和响应子系统。由于单项耦合系统的存在，驱动系统的运动状态会影响感应系统，而感应系统的运动状态则不会影响驱动系统。 下图3，是混沌同步系统的实验图。

图3、混沌同步电路图

三、实验

3.1 实验步骤

1、设计实验装置，测定非线性负阻的伏安特性曲线。实验装置如下图4所示：

图4、非线性负阻伏安特性测量电路

2、按照上图3 搭建非线性电路，改变R的阻值，观察并记录非线性电路的各种运动状态，同时测量非线性负阻两端的电压

3、在图3 的基础上，在电容C2上并联一可变电容，观察C2变化时非线性电路的运动状态；记录不同R值时运动状态改变点的C2值，计算非线性参数?'。

4.按照上图3搭建混沌同步电路图。观察记录同步、去同步状态；调节响应系统可变电阻，观察其参数对同步的影响。

四、数据处理与结果分析

1、非线性负阻的伏安特性数据，详见附页一和附页二。改变原始数据的象限，可得非

线性负阻的伏安特性曲线如下图5：

图5、非线性负阻的伏安特性曲线