重庆育才中学高 三（2014级） 二轮（理数）复习专题4第2讲 数列求和及综合应用

重庆育才中学高 三 (2014级) 二轮（理数）复习专题4 第2讲 数列求和及综合应用 (高三数学理二轮)

第2讲 数列求和及综合应用

考点整合

1、求通项公式的方法： (1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；

?S,n?1(2)利用前n项和与通项的关系an??1 (3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；

S?S,n?2n?1?nan＋1

(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如＝f(n)； (5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．

an

n?n－1?n?a1＋an?

2．等差、等比数列的求和公式： (1)等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋·d＝.

22a1?1－qn?

(2)等比数列前n项和公式：①q＝1时，Sn＝na1； ②q≠1时，Sn＝.

1－q

3．数列求和的方法技巧

(1)、转化法：①、an＋1＝can＋d(c≠0,1)，可以通过待定系数法设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，求出λ后，

化为等比数列求通项；②、an＋1＝an＋f(n)与an＋1＝f(n)·an，可以分别通过累加、累乘求得通项；

an＋1can1＋

③、 an＋1＝can＋rn(c≠0，r≠0)，可以通过两边除以rn1，得n＋1＝·n＋。

rrrr

(2)、错位相减法：主要用于求“等差?等比”{an·bn}型数列的前n项和。

(3)、裂项相消法：利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最 后只剩下有限项的和．(常见形式：通项公式的分母含n的乘积)

1111111(1)＝－； (2)＝（－） n?n＋1?nn＋1n?n＋k?knn＋k

真题感悟

1． (2013·课标)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6

?1?

2． (2012·大纲全国)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?aa?的前100项

?nn＋1?

1009999101

和为 ( ) A. B. C. D. 101101100100

3． (2012·课标全国)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．

1

4． (2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－n，n∈N*，则：

2

(1)a3＝________； (2)S1＋S2＋?＋S100＝________.

题型与方法

题型一 转化法求和

例1 等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、 第一列 第二列 三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在

第一行 3 2 下表的同一列. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an， 第二行 6 4 求数列{bn}的前n项和Sn. 变式训练1 在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝42，a8＝30. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝(3)an?2第三列 10 14 ＋λ(λ∈R)，则是否存在这样的实数λ使得{bn}为等比数列； 专题3 数列、推理与证明 1

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2，n为奇数??

(3)数列{cn}满足cn＝?1，Tn为数列{cn}的前n项和，求T2n.

a，n为偶数－n1??2

题型二 错位相减法求和

111

例2 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且，，成等比数列．

a1a2a4

(1)求数列{an}的通项公式；

－

(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋22b3＋?＋2n1bn＝an，求数列{nbn}的前n项和Tn.

33an变式训练2 已知数列{an}的首项a1＝，且an＋1＝，n＝1，2，?.

52an＋1

11

(1)证明：数列{－1}是等比数列； (2)令bn＝－1，试求数列{n·bn}的前n项和Sn.

anan

题型三 裂项相消法求和

例3 在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．

(1)已知数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；

111

(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差．

9n＋9anan＋1

变式训练3 等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.

(1)求数列{an}的通项公式；

?1?

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋?＋log3an，求数列?b?的前n项和．

?n?

题型四、数列与新背景、新定义的综合问题

例4、在直角坐标平面内，已知点P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，?，Pn(n,2n)，?.如果n为正整数，则

→→→

向量P1P2＋P3P4＋P5P6＋?＋P2n－1P2n的纵坐标为________．

变式训练4 已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4 000，O为坐标原点，点P(1，an)，

→→

点Q(2 011，a2 011)，则OP·OQ＝( )． A．2 011 B．－2 011 C．0 D．1

专题3 数列、推理与证明

2

n－1

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题型五、数列的综合应用

13

例5、已知Sn是数列{an}的前n项和，点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋x的图象上．

22

anan＋11

(1)求数列{an}的通项； (2)若cn＝＋，求证：2n

n?1＋an?

变式训练5 已知各项全不为零的数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝，n∈N*.

2

1111

(1)求证：数列{an}为等差数列； (2)若a2＝3，求证：当n∈N*时，＋＋?＋<. a1a2a2a3anan＋12

小题冲关

1． 已知等差数列{an}的公差d＝－2，a1＋a4＋a7＋?＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋?＋a99的值 ( )

A．－78 B．－82 C．－148 D．－182

→→→

2． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a200OC，且A，B，C三点共线(该直线不过

点O)，则S200等于 ( ) A．100 B．101 C．200 D．201

3． 已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，?这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它

的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S2 013等于 ( ) A．1 B．2 010 C．4 018 D．0

3

4． 已知数列{an}，an＝，前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是 ( )

2n－11

A．an与Sn都有最大值 B．an与Sn都没有最大值 C．an与Sn都有最小值 D．an与Sn都没有最小值

专题限时规范训练

一．基础题组

1． 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是 ( )

A．24 B．48 C．60 D．72

35

2． 已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x) (x∈R)，且f(1)＝，则数列{f(n)} (n∈N*)前20项的和 ( )

22

A．305 B．315 C．325 D．335

1111

3． 已知数列1，3，5，7，?，则其前n项和Sn为 ( )

248161111

A．n2＋1－n B．n2＋2－n C．n2＋1－n－1 D．n2＋2－n－1 2222

2

4． 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n＋3n，若an＋1an＋2＝80，则n的值等于 ( )

A．5 B．4 C．3 D．2

5． 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10等于 ( )

A．1 B．9 C．10 D．55

?1?

6．在等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列?bb?的前n项和Sn＝

?nn＋1?

111111111

7．数列1，，，，，，，，，，?的前100项的和等于________．

223334444

二．能力题组

专题3 数列、推理与证明

3

重庆育才中学高 三 (2014级) 二轮（理数）复习专题4 第2讲 数列求和及综合应用 (高三数学理二轮)

8．已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n(n∈N*)．

(1)求a1，a2的值； (2)求数列{an}的通项公式；

(3)若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn＝nan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 9、在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.

(1)证明：数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn； (3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．

10、已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为

3

Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，

anan＋1

m

Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n(n∈N*)都成立的最小正整数m.

20

11、已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．

?an－1?

(1)证明：数列?n?为等差数列；(2)求数列{an－1}的前n项和Sn.

?2?

12、已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7.

(1)设函数y＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列； (2)设函数y＝f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn.

13、已知函数f(x)＝(x－1)2，数列{an}是各项均不为0的等差数列，点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图

3－

象上；数列{bn}满足bn＝n1.

4

an(1)求an； (2)若数列{cn}满足cn＝n－1，求数列{cn}的前n项和．

4·bn

14、已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，a3是a1，a7的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

?1?1

(2)设Tn为数列?aa?的前n项和，若Tn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．

λ?nn＋1?15.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，Sn是1与(an?1)2的等比中项. 4（Ⅰ）若b1?a1，且bn?2bn?1?3，求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若c?an，求数列{cn}的前n项和Tn.

nbn?3三．拔高题组

16. 已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，若a1b1?a2b2??anbn?n?2n?3，且

*2 a1?8. （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）是否存在r,s?N，使得ar?bs?2013，

若存在，求出所有满足条件的r,s；若不存在，请说明理由. 17、已知数列{an}满足a1?1，a1?a2?．（Ⅰ）求数列{an}?an?1?an??1（n?2且n?N*）

22an?1?an?2的通项公式an；（Ⅱ）令dn?1?loga (a?0,a?1)，记数列{dn}的前n项和为Sn，若

5S2n恒为一个与n无关的常数?，试求常数a和?. Sn专题3 数列、推理与证明

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