电磁场与电磁波（第四版）谢处方 - 课后答案

?(fGy)?(fGx)?]???(fG) ?x?y1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明??(?u)?0及?(??A)?0，试证明之。

解 （1）对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有 nez[?u(???u)dS??udl?dl??du?0 ????lSCCC由于曲面S是任意的，故有

??(?u)?0

（2）对于任意闭合曲面S为边界的体积?，由散度定理有

?SS1S21C2 C1S1

n2 S2 ??(??A)d???(??A)dS??(??A)dS??(??A)dS ?(??A)dS??Adl， ?(??A)dS??Adl

C1S2C2题1.27图

其中S1和S2如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有

S1由题1.27图可知C1和C2是方向相反的同一回路，则有 ?Adl???Adl

C1C2所以得到 ??(??A)d???由于体积?是任意的，故有 ?(??A)?0

C1?Adl??Adl???Adl??Adl?0

C2C2C2

第二章习题解答

2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为???4?0U0d?43x?23，式中阴极板位于x?0，阳极板

9位于x?d，极间电压为U0。如果U0?40V、d?1cm、横截面S?10cm2，求：（1）x?0和x?d区域内的总电荷量Q；（2）x?d2和x?d区域内的总电荷量Q?。 解 （1） Q??d??(?4?0U0d?43x?23)Sdx??4?0U0S??4.72?10?11C

??93d?0d414?11?43?23?(1?)?US??0.97?10C (??Udx)Sdx?0000?33d92??d2 2.2 一个体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

解 质子的质量m?1.7?10?27kg、电量q?1.6?10?19C。由 （2） Q????d??d12mv?qU 2得 v?2mqU?1.37?106 ms 故 J??v?0.318 Am2

I?J?(d2)2?10?6 A

2.3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度?绕一个直径旋转，求球内的电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为

v???r?e??rsin?

球内的电荷体密度为

Q ??4?a33Q3Q?故 J??v?e??rsin??ersin? ?334?a34?a2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度?绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为

v???r?e??asin?

球面的上电荷面密度为

Q 4?a2故 JS??v?e?Q?asin??e?Q?sin?

4?a24?a2.5 两点电荷q1?8C位于z轴上z?4处，q2??4C位于y轴上y?4处，求(4,0,0)处的电场强度。 解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为

qr?r1?2ex4?ez4E1?1? 334??0r?r1???0(42)电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为

??

E2?q2r?r2?1ex4?ey4 ??334??0r?r2???0(42)ex?ey?ez2故(4,0,0)处的电场为

322??02.6 一个半圆环上均匀分布线电荷?l，求垂直于圆平面的轴线上z?a处的电场强度E(0,0,a)，设半圆环的半径也为a，如题2.6 图所示。

解 半圆环上的电荷元?ldl???lad??在轴线上z?a处的电场强度为

?ar?r? dE?ld??? 3 4??0(2a) ?lez?(excos???eysin??) d??

a82??0 在半圆环上对上式积分，得到轴线上z?a处的电场强度为 E(0,0,a)?dE?

E?E1?E2?

? 题 2.6图

?2?l(ez??ex2)?l???[e?(ecos??esin?)]d?? y?zx82??0a82??0a??22.7 三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为?l1、?l2和?l3地线电荷构成等边三角形。设?l1?2?l2?2?l3，计算三角形中心处的电场强度。

解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为

d? 则

E1?eyL3 tan30?L26?l13?l1 (cos30?cos150)?ey 4??0d2??0L 3?l23?l1 E??(ecos30?esin30)??(e3?e)2xyxy 2??0L8??0L 3?l33?l1 E3?(excos30?eysin30)?(ex3?ey)2??L8??L 2.7图 00题

故等边三角形中心处的电场强度为

E?E1?E2?E3?

3?l13?l13?l13?l1 ey?(ex3?ey)?(ex3?ey)?ey2??0L8??0L8??0L4??0L2.8 －点电荷?q位于(?a,0,0)处，另－点电荷?2q位于(a,0,0)处，空间有没有电场强度E?0的点？

解 电荷?q在(x,y,z)处产生的电场为

qex(x?a)?eyy?ezz E1?4??0[(x?a)2?y2?z2]32电荷?2q在(x,y,z)处产生的电场为

2qex(x?a)?eyy?ezz

E2??4??0[(x?a)2?y2?z2]32(x,y,z)处的电场则为E?E1?E2。令E?0，则有

ex(x?a)?eyy?ezz[(x?a)?y?z]由上式两端对应分量相等，可得到

22232?2[ex(x?a)?eyy?ezz][(x?a)?y?z]22232

(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32?2(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32 ① y[(x?a)2?y2?z2]32?2y[(x?a)2?y2?z2]32 ②

z[(x?a)2?y2?z2]32?2z[(x?a)2?y2?z2]32 ③

当y?0或z?0时，将式②或式③代入式①，得a?0。所以，当y?0或z?0时无解； 当y?0且z?0时，由式①，有

(x?a)(x?a)3?2(x?a)(x?a)3

解得

x?(?3?22)a 但x??3a?22a不合题意，故仅在(?3a?22a,0,0)处电场强度E?0。

2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为?。证明：垂直于平面的z轴上z?z0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。

解 半径为r、电荷线密度为?l??dr的带电细圆环在z轴上z?z0处的电场强度为

r?z0drdE?ez232 2?0(r2?z0)故整个导电带电面在z轴上z?z0处的电场强度为

r?z0dr?z01E?ez???ez22322122?(r?z)2?0(r2?z0)0003z0???ez0? 2?03z0 而半径为3z0的圆内的电荷产生在z轴上z?z0处的电场强度为

E??ez?0r?z0dr?z01??ez2322122?0(r2?z0)2?0(r2?z0)?ez0?1?E 4?02 题2.10图

2.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B。

解 球面上的电荷面密度为

Q 4?a2当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r?era点处的电流面密度为

JS??v??ω?r??ez??era?

???Qsin? 4?a将球面划分为无数个宽度为dl?ad?的细圆环，则球面上任一个宽度为dl?ad?细圆环的电流为

?QdI?JSdl?sin?d?

4?细圆环的半径为b?asin?，圆环平面到球心的距离d?acos?，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

e???asin??e?23??Qasin?d??0?Qsin3?d? 0 dB?ez?ez?ez22322222322(b?d)8?(asin??acos?)8?a3???Qsin??0?Q 0故整个球面电流在球心处产生的磁场为 B?ed??ez?0z8?a6?a?0b2dI