数学3 考研经济应用题（导数和微分在经济学中的简单运用）

其经济意义为在销售量为x0时，再多（少）销售一个单位产品所增加（减少）的利润。

根据总利润函数，总收益函数、总成本函数的定义及函数取得最大值的必要条件与充分条件可得如下结论。 由定义，

L(x)?R(x)?c(x) L?(x)?R?(x)?c?(x)

令L?(x)?0，则R?(x)?c?(x)

结论1：函数取得最大利润的必要条件是边际收益等于边际成本。 又由L(x)取得最大值的充分条件：

L?(x)?0且L??(x)?0

可得：R??(x)?c??(x)

结论2：函数取得最大利润的充分条件是：边际收益等于边际成本且边际收益的变化率小于边际成本的变化率。 结论1与结论2称为最大利润原则。

例3：某工厂生产某种产品，固定成本2000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知总收益R为年产量Q的函数，且

1??400Q?Q2,R?R(Q)??2?80000,?0?Q?400Q?400

问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？ 解：由题意总成本函数为：

c?c(Q)?2000?100Q

从而可得利润函数为：

L?L(Q)?R(Q)?c(Q)

1??300Q?Q2，??2??60000?100Q，令L?(Q)?00?Q?400Q?400

得Q?300

L??(Q)Q?300??1?0

所以Q=300时总利润最大，此时L(300)=25000，即当年产量为300个单位时，总利润最大，此时总利润为25000元。

若已知某产品的需求函数为P=P(x)，P为单位产品售价，x为产品需求量，则需求与收益之间的关系为：

R(x)?x?P(x)

这时R?(x)?P(x)?xP?(x)

其中P?(x)为边际需求，表示当需求量为x时，再增加一个单位的需求量，产品价格近似地增加P?(x)个单位。关于其它经济变量的边际，这里不再赘述。我们以一道例题结束边际的讨论。

例4：设某产品的需求函数为x?100?5P，其中P为价格，x为需求量，求边际收入函数以及x=20、50和70时的边际收入，并解释所得结果的经济意义。

1(100?x)，于是，总收入函数为： 511R(x)?xP?x?(100?x)?20x?x2

5521于是边际收入函数为：R?(x)?20?x?(100?2x)

55解：由题设有P?R?(20)?12，R?(50)?0，R?(70)??8

由所得结果可知，当销售量（即需求量）为20个单位时，再增加销售可使总收入增加，多销售一个单位产品，总收入约增加12个单位；当销售量为50个单位时，总收入的变化率为零，这时总收入达到最大值，增加一个单位的销售量，总收入基本不变；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，反而使总收入约减少8个单位，或者说，再少销售一个单位产品，将使总收入少损失约8个单位。

（二）弹性与弹性分析

弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度。

1．问题的提出

设某商品的需求函数为Q?Q(P)，其中P为价格。当价格P获得一个增量?P时，相应地需求量获得增量?Q，

?Q表示Q对P的平均变化率，但这个比值是一个与度量单位有关的量。 ?P?Q?10比如，假定该商品价格增加1元，引起需求量降低10个单位，则???10；若以分为单位，即价格增

?P1?Q?101加100分（1元），引起需求量降低10个单位，则???。由此可见，当价格的计算单位不同时，会引起

?P10010?Q比值的变化。为了弥补这一缺点，采用价格与需求量的相对增量?PP及?QQ，它们分别表示价格和需求量的

?P比值

相对改变量，这时无论价格和需求量的计算单位怎样变化，比值化率，反映了需求变化对价格变化的反应程度。

2、弹性的定义

定义1：设函数y?f(x)在点x0(x0?0)的某邻域内有定义，且f(x0)?0，如果极限

?QQ?PP都不会发生变化，它表示Q对P的平均相对变

?y/f(x0)[f(x0??x)?f(x0)]/f(x0)?lim

?x?0?x?0?x/x0?x/x0lim存在，则称此极限值为函数y?f(x)在点x0处的点弹性，记为

EyEx；

x?x0称比值

?y/f(x0)[f(x0??x)?f(x0)]/f(x0)?

?x/x0?x/x0为函数y?f(x)在x0与x0??x之间的平均相对变化率，经济上也叫做点x0与x0??x之间的弧弹性。

由定义可知：

x0dyEy?Exx?x0f(x0)dxEyEx?x?x0，且当?x??1时，有：

x?x0?y/f(x0)

?x/x0即点弹性近似地等于弧弹性。

如果函数y?f(x)在区间（a、b）内可导，且f(x)?0，则称内的点弹性函数，简称为弹性函数。

函数y?f(x)在点x0处的点弹性与f(x)在x0与x0??x之间的弧弹性的数值可以是正数，也可以是负数，取决于变量y与变量x是同方向变化（正数）还是反方向变化（负数）。弹性数值绝对值的大小表示变量变化程度的大小，且弹性数值与变量的度量单位无关。下面给出证明。

设y?f(x)为一经济函数，变量x与y的度量单位发生变化后，自变量由x变为x，函数值由y变为y，且

**Eyx?f?(x)为函数y?f(x)在区间（a、b）Exf(x)Ey*Eyx??x，y??y，则*?。

ExEx**Ey*x*dy*证明：?*?* *Exydx?即弹性不变。

由此可见，函数的弹性（点弹性与弧弹性）与量纲无关，即与各有关变量所用的计量单位无关。这使得弹性概念在经济学中得到广泛应用，因为经济中各种商品的计算单位是不尽相同的，比较不同商品的弹性时，可不受计量单位的限制。

下面介绍几个常用的经济函数的弹性。

?xd(?y)??xdyxdyEy??????? ?yd(?x)??ydxydxEx

3、需求的价格弹性

需求指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。消费者对某种商品的需求受多种因素影响，如价格、个人收入、预测价格、消费嗜好等，而价格是主要因素。因此在这里我们假设除价格以外的因素不变，讨论需求对价格的弹性。

定义2：设某商品的市场需求量为Q，价格为P，需求函数Q=Q(P)可导，则称

EQPdQ?? EPQdP为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，通常记为?P。

需求弹性?P表示商品需求量Q对价格P变动的反应强度。由于需求量与价格P反方向变动，即需求函数为价格的减函数，故需求弹性为负值，即?P?0。因此需求价格弹性表明当商品的价格上涨（下降）1%时，其需求量将减少（增加）约?P%。

在经济学中，为了便于比较需求弹性的大小，通常取?P的绝对值?P，并根据?P的大小，将需求弹性化分为以下几个范围。

① 当?P=1（即?P??1）时，称为单位弹性，这时当商品价格增加（减少）1%时，需求量相应地减少（增加）1%，即需求量与价格变动的百分比相等。

② 当?P>1（即?P??1）时，称为高弹性（或富于弹性），这时当商品的价格变动1%时，需求量变动的百分比大于1%，价格的变动对需求量的影响较大。

③ 当?P<1（即?1??P?0）时，称为低弹性（或缺乏弹性），这时当商品的价格变动1%，需求量变动的百分比小于1%，价格的变动对需求量的影响不大。

④ 当?P=0（即?P?0）时，称为需求完全缺乏弹性，这时，不论价格如何变动，需求量固定不变。即需求函数的形式为Q=K（K为任何既定常数）。如果以纵坐标表示价格，横坐标表示需求量，则需求曲线是垂直于横坐标轴的一条直线（如图(1)）。

⑤ 当?P??（即?P???）时，称为需求完全富于弹性。表示在既定价格下，需求量可以任意变动。即需求函数的形式是P=K（K为任何既定常数），这时需求曲线是与横轴平行的一条直线（如图(2)）。

P Q=k k 0 P Q 0