04第一章 单位圆与任意角的正、余弦函数的定义及单位圆与周期性

教学课题：单位圆与任意角的正、余弦函数的定义及单位圆与周期性 三维目标：

1．知识与技能：

⑴能借助于单位圆认识和理解正弦、余弦函数的概念； ⑵从任意角的三角函数的定义明确对应法则和定义域. 2．过程与方法：

能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题. 3．情感、态度与价值观：

让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，获得“发现”的经验，培养合情猜测能力.

教学重点：三角函数的定义

教学难点：通过坐标求任意角的三角函数值. 教学课时：3课时 教学过程：

第1课时

一．引入

复习：回忆在直角三角形中锐角的三角函数（初中已学过）.（师画出直角三角形，学生口头回答） 引入：以前面，我们已学过了角的概念的推广，今天，我们将在直角坐标系中研究任意角的三角函数. （板书课题）

二．新知

㈠正弦函数、余弦函数的定义 1．单位圆

在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆. 2．任意角的正弦函数、余弦函数 如图（师投影图像）

一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角?，使角?第 1 页 共 5 页

的顶点与原点重合，始边与x轴非负

半轴重合，终边与单位圆交于点P?u,v?，那么点P的纵坐标v叫作角?的正弦函数，记作v?sin?；点P的横坐标u叫作角?的余弦函数，记作u?cos?.

通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y?sinx和y?cosx，它们的定义域为R，值域为??1,1?.

说明：

⑴我们也可以按下面的方式计算正弦和余弦的函数值：

在角?终边上任取一点P?x,y?，设OP?r，由相似形原理得：sin??v?y?ryx?y22；

cos??u?x?rxx?y22.

⑵三角函数线：在上图中，有向线段MP表示角?的正弦值，方向向上其值为正，方向向下其值为负，有向线段MP的长度表示其大小；有向线段OM表示角?的余弦值，方向向右其值为正，方向向左其值为负，有向线段OM的长度表示其大小.

例（教材例2）在直角坐标系中，????4.

⑴画出角?；⑵求出角?的终边与单位圆的交点坐标. 例 ⑴已知点P???13??是角?的终边与单位圆的交点，则sin?? ，cos?= . ,??22???⑵已知点P?3,?4?是角?终边上一点，则sin?= ，cos?? . ㈡正、余弦函数值在各象限的符号

由正、余弦函数的定义可知：角?正弦函数值的符号与其终边和单位圆交点的纵坐标的符号一致；角

?余弦函数值的符号与其终边和单位圆交点的横坐标的符号一致. 所以，正弦函数值、余弦函数值在每个

象限的符号如图所示：（师投影）

说明：

⑴由图可以看出：当角?的终边落在x轴上方时，正弦值为正；当角?的终边落在x轴下方时，正弦值为负；当角?的终边落在x轴上时，正弦值等于0. 即当2k????2k???时，sin??0；当

2k??????2k??2?时，sin??0；当??k?时，sin??0. 其中k?Z.

⑵由图可以看出：当角?的终边落在y轴右侧时，余弦值为正；当角?的终边落在y轴左侧时，余弦

值为负；当角?的终边落在y轴上时，余弦值等于0. 即当2k???2???2k???2时，cos??0；当

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2k???3????2k???时，cos??0；当??k??时，cos??0. 其中k?Z. 222?例 判断下列三角函数值的符号： ⑴sin378；⑵cos?130?；⑶sin??8?7?；⑷cos. 34动手实践：（师投影，学生动手实践，并要求学生熟记特殊角的正、余弦函数值）

在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表中：

x y?sinx y?cosx 0 ? 6 ? 4 ? 3 ? 2 2? 3 5? 6 x y?sinx y?cosx

? 7? 6 4? 3 3? 2 5? 3 11? 6 2? 第2课时

㈢函数的周期性

1．终边相同的角的三角函数之间的关系

由任意角的正弦函数、余弦函数的定义易知，终边相同的角的同名三角函数值相等，即：

sin?x?2k???sinx，cos?x?2k???cosx，k?Z.

2．周期函数的定义

描述性定义：这种随自变量变化呈周期性变化的函数叫作周期函数.

形式化定义：一般地，对于函数f?x?，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有

f?x?T??f?x?，我们就把f?x?称为周期函数，T称为这个函数的周期.

说明：

⑴正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k??k?Z,k?0?为正弦函数、余弦函数的周期.

⑵对定义域内的任一个值x，x?T也属于定义域. 因此，周期函数的定义域至少一方无界. 例如

y?cosx，x???4?,10??就不是周期函数，而y?cosx，x???4?,???上是只有正周期的周期函数.

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⑶一般地，若T为f?x?周期，则nT?n?Z,n?0?也为f?x?的周期，即f?x?nT??f?x?；如果在

f?x?的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f?x?的最小正周期，正弦函数、余弦

函数的最小正周期是2?. 在以后的学习中，若不加特别说明，所说周期均为最小正周期.

⑷并不是所有的周期函数都有最小正周期，如周期函数f?x??3就没有最小正周期. 例 设函数f?x?满足f??x??f?x?，f?x?2??f?x?，则y?f?x?的图像可能是（ ）

例 求函数f?x??cos2x的周期. 三．小结

1．正弦函数、余弦函数的定义及其各象限内函数值的符号； 2．周期函数的定义. 四．作业

习题1?4A组第1、2、3题.

第3课时

五．备用习题

1．已知角?的终边经过点P??4a,3a??a?0?，求sin?，cos?的值. 2．已知角?的终边在直线y??2x上，求sin?，cos?的值.

3．已知sin??6，求cos?的值. 33，求?的取值范围. 24．已知cos??5．求函数y?lg?sin2x??9?x2的定义域.

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6．若f?x?是R上周期为5的奇函数，且满足f?1??1，f?2??2. 求f?3??f?4?的值. 7．已知函数f?n??sinn??n?Z?，求f?1??f?2??f?3????f?101?的值. 6第 5 页 共 5 页