【推荐】人教版2020届高考数学(理)一轮复习课时作业57

课时作业57 直线与圆锥曲线

bx2y2

1．直线y＝ax＋3与双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是( A )

A．1 C．1或2

B．2 D．0

bx2y2b

解析：由直线y＝ax＋3与双曲线a2－b2＝1的渐近线y＝ax平行，故直线与双曲线的交点个数是1.

2．(2019·山东聊城一模)已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为( D )

A．y＝x－1 C．y＝－x＋3

B．y＝－2x＋5 D．y＝2x－3

2

??y1＝4x1①，

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有?2①－②得y21－

??y2＝4x2②，

y22＝4(x1－x2)，由题可知

y1－y244

x1≠x2.∴＝＝＝2，即kAB＝2，

x1－x2y1＋y22

∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.

3．(2019·湖北武汉调研)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，则k的取值范围为( D )

?5?

A.?0，?

2???55?

C.?－，?

22??

?5?

B．?1，?

2???5?

D．?1，?

2??

??y＝kx－1，

解析：由题意知k＞0，联立?22整理得(1－k2)x2＋2kx

??x－y＝4，

－5＝0，因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x1，x2，所以

?

?x＋x＝－2k＞0，

1－k?

?xx＝－5＞0，?1－k

1

2

212

2Δ＝4k2＋20?1－k2?＞0，

?55?

解得1＜k＜2，即k∈?1，?，故选D.

2??

4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( D )

1

A.2 3C.4

2B．3 4D．3 解析：易知p＝4，直线AB的斜率存在，抛物线方程为y2＝8x，与直线AB的方程y－3＝k(x＋2)联立，消去x整理得ky2－8y＋16k＋1

24＝0，由题意知Δ＝64－4k(16k＋24)＝0，解得k＝－2或k＝2.因为1

直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k＝－2，故k＝2，可得B(8,8)，8－04又F(2,0)，故kBF＝＝3，故选D.

8－2

5．(2019·湖北武汉调研)已知不过原点O的直线交抛物线y2＝2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA＝2，kAB＝6，则OB的斜率为( D )

A．3 C．－2

p

B．2 D．－3

解析：由题意可知，直线OA的方程为y＝2x，与抛物线方程y2

?x＝，??y＝2x，＝2px联立得?2得?2

??y＝2px，

?y＝p，

?p?

?，p即A2?， ??

p??

则直线AB的方程为y－p＝6?x－2?，

??

??y＝6x－2p，

即y＝6x－2p，与抛物线方程y＝2px联立得?2得

??y＝2px，

2

2p??x＝9，?2p??y＝－3

?x＝p，或?2?y＝p，

2p??2p

?所以B9，－3?， ??

2p

－3

所以直线OB的斜率为kOB＝2p＝－3.

9故选D.

x22

6．已知双曲线3－y＝1的右焦点是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，直线y＝kx＋m与抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是线段AB的中点，则△AOB(O为坐标原点)的面积是( D )

A．43 C.14

B．313 D．23

解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，又因为直线y＝kx＋m与抛物线相交于A，B两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kx＋m)2＝8x?k2x2＋(2km－8)x＋m2＝0，

8－2kmm2∴x1＋x2＝k2，x1x2＝k2. 又因为M(2,2)是线段AB的中点， 8－2km

所以x1＋x2＝k2＝4，且2＝2k＋m， 联立解得k＝2，m＝－2.|AB|＝

k2＋1|x1－x2|＝

2

k＋1·?x1＋x2?－4x1x2＝215.O到AB的距离d＝.

5

2212

∴S△AOB＝2×215×＝23.

5

x2y2

7．(2019·泉州质检)已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，F是双曲线C的右焦点，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D，E，则双曲线C的离心率e的取值范围为( B )

A．(2，3) C．(2，2)

B．(2，＋∞) 6

D．(1，2) a

解析：法一：由题意知，直线l：y＝－b(x－c)，由

?y＝－a?x－c?，

b?

?b2x2－a2y2＝a2b2，

?ac?－?b2＋a2b2???

42

?2a?22ac?ac22????得b－b2x＋b2x－b2＋ab?＝0，由x1x2＝

????

4442

a

b－b22

4＜0，得b4＞a4，所以b2＝c2－a2＞a2，所以e2＞2，得e

＞2.

a

法二：由题意，知直线l的斜率为－b，若l与双曲线左、右两支ab

分别交于D，E两点，则－b＞－a，即a2＜b2，所以a2＜c2－a2，e2＞2，得e＞2.

x2y2

8．(2019·洛阳统考)已知双曲线E：4－2＝1，直线l交双曲线于

?1?A，B两点，若线段AB的中点坐标为?2，－1?，则直线l的方程为( C )

??

A．4x＋y－1＝0 C．2x＋8y＋7＝0

B．2x＋y＝0 D．x＋4y＋3＝0