数学选修2-2人教A教案导学案：定积分在物理中的应用

1. 7.2定积分在物理中的应用

课前预习学案

【预习目标】

能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功.

【预习内容】

一、知识要点：作变速直线运动的物体在时间区间?a,b?上所经过的路程S，等于其速度函数

v?v(t)(v(t)?0)在时间区间?a,b?上的 ，即 . 例1已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：v(m/s),t(s).）

?320?t?10;?10t,?v(t)??30,10?t?40;

??1.5t?90,40?t?60.??求（1）汽车10s行驶的路程；（2）汽车50s行驶的路程；（3）汽车1min行驶的路程.

1

变式1：变速直线运动的物体速度为v(t)?1?t2,初始位置为x0?1,求它在前2s内所走的路程及2s末所在的位置.

二、要点：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同方向从x?a移动到

x?b(a?b),则变力F(x)所作的功W= .

例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，求克服弹力所作的功.

变式2：一物体在变力F(x)?5?x2作用下，沿与F(x)成30?方向作直线运动，则由x?1运动到x?2时F(x)作的功为 .

课内探究学案

一、学习目标：

1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.

2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。 二、学习重点与难点：

1. 定积分的概念及几何意义

2. 定积分的基本性质及运算的应用 三、学习过程

(一)变速直线运动的路程

1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 定积分

，即s??v(t)dt．

ab2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是

（只列式子） ???3sint?dt．

353．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 例1．教材P58面例3。

练习：P59面1。 （二）变力作功

2

25 ． 31．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）．

2

2．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的 功W =

?baF(x)dx．

例2．教材例4。

课后练习与提高

1、 设物体以速度v(t)?3t2?t(m/s)作直线运动，则它在0~4s内所走的路程为（ ） A.70m

B.72m C.75m D.80m

2、设列车从A点以速度v(t)?24?1.2t(m/s)开始拉闸减速，则拉闸后行驶105m所需时间为（ ）

A.5s B.10s C.20s D.35s

3、以初速40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v?40?10t2,则此物体达到最高时的高度为（ ）

A.160804020m B.m C.m D.m 33334、质点由坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度a(t)?2t，当初速度v(0)?0时，质点出发后6s所走的路程为（ ） A.12 B.54 C.72 D.96

5、如果1N能拉弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为（ ） A.0.18J B.0.26J C.0.12J D.0.28J

6、一物体在力F(x)?3x2?2x?5（力：N；位移：m）作用下沿与力F(x)相同的方向由x?5m直线运动到x?10m处作的功是（ ） A.925J B.850J C.825J D.800J

7、将一弹簧压缩x厘米，需要4x牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，外力作的功是

8、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)?5?t?紧急刹车至停止.求

（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间； （2）紧急刹车后火车运行的路程.

55（单位：m/s）1?t 3

4

1.7.2 定积分在物理中的应用

一、教学目标：

1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.

2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。 二、教学重点与难点：

1. 定积分的概念及几何意义

2. 定积分的基本性质及运算的应用 三教学过程：

（一）练习

1．曲线y = x2 + 2x直线x = – 1，x = 1及x轴所围成图形的面积为（ B ）． A．

842 B．2 C． D． 33332．曲线y = cos x(0?x??)与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ）

2 A．4 B．2

5C．

2 D．3

3．求抛物线y2 = x与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．

?y2?x解：如图：由?得A（1，– 1），B（9，3）．

x?2y?3?0? 选择x作积分变量，则所求面积为

1019119 S??[x?(?x)]dx??[x?(x?3)]dx=2?1dx??xdx??(x?3)dx

01012214323x239321922 =x|0?x|1?(?x)|1?． 33423（二）新课

变速直线运动的路程

1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 积分

，即s?定?v(t)dt．

ab2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是

（只列式子） ???3sint?dt．

353．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 例1．教材P58面例3。

25 ． 3练习：P59面1。 变力作功

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