高考数学专题： 空间向量与立体几何

(2015·湖南，19，13分)如图，已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD.点P，Q分别在棱DD1，BC上．

(1)若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；

(2)若PQ∥平面ABB1A1，二面角P-QD-A的余弦值为3

7，求四面体ADPQ的体积．

【解析】 由题设知，AA1，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B1(3，0，6)，D(0，6，0)，D1(0，3，6)，Q(6，m，0)，其中m＝BQ，0≤m≤6. 9?→?

(1)证明：若P是DD1的中点，则P?0，2，3?，PQ＝

??9??→＝(3，0，6)， ?6，m－2，－3?.又AB1

??

→·→→→于是AB1PQ＝18－18＝0，所以AB1⊥PQ，即AB1⊥PQ.

→＝(6，m－6，0)，DD→＝(0，－3，6)是平面PQD内的两个不共(2)由题设知，DQ1→＝0，?DQ?n1·线向量．设n1＝(x，y，z)是平面PQD的法向量，则?即

→?DD1＝0，?n1·

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?6x＋（m－6）y＝0，?取y＝6，得n1＝(6－m，6，3)．又平面AQD的一个法向－3y＋6z＝0.?

n1·n2量是n2＝(0，0，1)，所以cos〈n1，n2〉＝|n||n|＝

1

2

3

＝

1·（6－m）2＋62＋32

3

.

（6－m）2＋45

3

而二面角P-QD-A的余弦值为7，因此8(舍去)，此时Q(6，4，0)．

→＝λDD→(0＜λ≤1)，而DD→＝(0，－3，6)，由此得点P(0，6－3λ，6λ)，所以PQ→设DP11＝(6，3λ－2，－6λ)．

→·因为PQ∥平面ABB1A1，且平面ABB1A1的一个法向量是n3＝(0，1，0)，所以PQn32

＝0，即3λ－2＝0，亦即λ＝3，从而P(0，4，4)．

于是，将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ，则其高h＝4.故111

四面体ADPQ的体积V＝3S△ADQ·h＝3×6×6×4＝24.,

2×

33

＝，解得m＝4，或m＝

（6－m）2＋457

(1)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点B1，P的坐标，设出点Q的→和PQ→的坐标，证明AB→·→

坐标，求出AB11PQ＝0；

(2)利用直线的方向向量落实条件PQ∥平面ABB1A1，利用平面的法向量计算出二面角P-QD-A的余弦值，从而确定P的位置，利用体积公式计算四面体ADPQ

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的体积．本题也可以不利用空间向量，而利用传统方法证明、求解．

运用空间向量解决立体几何问题的步骤

(1)建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系； (2)定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标； (3)向量运算：进行相关的空间向量的运算；

(4)翻译：将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解．注意：在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上．

1．(2015·山东临沂一模，3)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )

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A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l与α斜交

1．B ∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，即n＝－2a，故a∥n，∴l⊥α. 2．(2016·河南安阳联考，4)设平面α的一个法向量为n1＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( ) A．2 B．－4 C．－2 D．4

－2－4k2．D ∵α∥β，∴n1∥n2，由题意可得1＝2＝，∴k＝4.

－2

3．(2016·北京海淀区一模，13)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在→·→的取值范围是________． 线段BD1上运动，则DCAP

3．【解析】 以DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz.

则D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)． →＝(0，1，0)，BD→＝(－1，－1，1)． ∴DC1∵点P在线段BD1上运动，

→＝λBD→＝(－λ，－λ，λ)，且0≤λ≤1. ∴设BP1→＝AB→＋BP→＝DC→＋BP→＝(－λ，1－λ，λ)． ∴AP

→·→＝1－λ∈[0，1]． ∴DCAP【答案】 [0，1]

4．(2016·湖南岳阳质检，13)正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面边长为1，侧棱长为2，且MN是AB′，BC′的公垂线，M在AB′上，N在BC′上，则线段MN的长度为________．

4．【解析】 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，

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