高考数学专题： 空间向量与立体几何

高考数学专题： 空间向量与立体几何

1．(2014·广东，5，易)已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( ) A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)

1．B 设所选向量为b，观察选项可知|b|＝2，∵〈a，b〉＝60?，

1

∴cos 〈a，b〉＝选B.

a·b1

＝2，∴a·b＝1.代入选项检验可知(1，－1，0)适合，故2×2

1

2．(2015·浙江，15，难)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝2.若空间向量b满5足b·e1＝2，b·e2＝2，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝______，y0＝________，|b|＝________．

2．【解析】 ∵e1·e2＝|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝cos〈e1，e2〉＝12，∴〈不妨设e1＝??1?2，32，0?

??，e2＝(1，0，0)，

b＝(m，n，t)．

则由题意知b·e1＝13

2m＋2n＝2， b·e2＝m＝52， 解得n＝3，m＝522， ∴b＝??53??2，2，t??.

∵b－(xe1＋ye2)

＝??5?2－12x－y，32－3

2x，t???

，

∴|b－(xe1＋ye2)|2

＝??51?2?3

3?2?2－2x－y??＋?2?2

－2x??＋t.

由题意，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时， |b－(xe1＋ye2)|2取到最小值1. 此时t2＝1， 故|b|＝??5?2??2?＋??3??2?2?

＋t2

＝8＝22.

【答案】 1 2 22

2

eeπ1，2〉＝3.

3．(2016·课标Ⅲ，19，12分，中)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点． (1)证明MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 2

3．解：(1)证明：由已知得AM＝3AD＝2.

1

如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝2BC＝2.

又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT. 因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.

(2)如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝AB－BE＝

2

2

?BC?2

AB－?2?＝5.

??

2

→，AD→，AP→的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立

以A为坐标原点，分别以AE

如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(5，?5?

2，0)，N?，1，2?.

?2?

?→?5?5→＝(0，2，－4)，PN→＝??，1，－2?，ANPM＝?，1，2?.

?2??2?

3

→?PM＝0，?n·

设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则?

→?PN＝0.?n·

?2y－4z＝0，

即?5 ?2x＋y－2z＝0.

可取n＝(0，2，1)．

→|85|n·AN→

于是|cos〈n，AN〉|＝→＝25.

|n||AN|

85

所以直线AN与平面AMN所成角的正弦值为25.

4．(2016·北京，17，14分，中)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5. (1)求证：PD⊥平面PAB；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，AM

求AP的值；若不存在，说明理由．

4．解：(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD， 所以AB⊥平面PAD. 所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD， 所以PD⊥平面PAB.

(2)如图，取AD的中点O，连接PO，CO. 因为PA＝PD， 所以PO⊥AD.

又因为PO?平面PAD， 平面PAD⊥平面ABCD， 所以PO⊥平面ABCD.

因为CO?平面ABCD，所以PO⊥CO. 因为AC＝CD，所以CO⊥AD.

如图建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，

4