浙江专用2021版新高考数学一轮复习第九章平面解析几何8第8讲直线与椭圆抛物线的位置关系教学案

解析：选C.直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.

3．过抛物线y＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )

A．有且只有一条 C．有且只有三条

B．有且只有两条 D．有且只有四条

2

解析：选B.若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB1222

的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝k(x－)，代入抛物线y＝2x得，kx2122

－(k＋2)x＋k＝0，因为A，B两点的横坐标之和为2.所以k＝±2.所以这样的直线有两

4条．

4．经过椭圆＋y＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O2→→

为坐标原点，则OA·OB等于( )

A．－3 1

C．－或－3

3

1B．－

31D．±

3

x2

2

解析：选B.依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°422

(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y＝1并整理得3x－4x＝0，解得x＝0或x＝，所23

x2

?41?以两个交点坐标分别为(0，－1)，?，?， ?33?

11→→→→

所以OA·OB＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA·OB＝－. 33

5．(2020·杭州严州中学模拟)过抛物线y＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，→→

交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，BC＝λFB，则λ的值为( )

3A. 4C.3

3B. 2D．3

2

解析：选D.设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2＝6，

解得x1＝4，y1＝42，直线AB的方程为y＝22(x－2)，令x＝－2，y＝－82，

?y＝8x，

即C(－2，－82)，联立方程?

?y＝22（x－2），

13

2

解得B(1，－22)，

所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.

3x2

6．已知圆M：(x－1)＋y＝，椭圆C：＋y＝1，若直线l与椭圆交于A，B两点，与

83

2

2

2

圆M相切于点P，且P为AB的中点，则这样的直线l有( )

A．2条 C．4条

B．3条 D．6条

解析：选C.当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时，P在x轴上，故满足条件的直线有2条；

当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 由＋y＝1，＋y2＝1，

33两式相减，整理得

x21

2

1

x22

2

y1－y21x1＋x2

＝－·， x1－x23y1＋y2

y0

则kAB＝－，kMP＝，kMP·kAB＝－1，

3y0x0－1

x0

kMP·kAB＝－

x0y03

·＝－1，解得x0＝， 3y0x0－12

3

由<3，可得P在椭圆内部， 2

则这样的P点有2个，即直线AB斜率存在时，也有2条． 综上可得，所示直线l有4条．故选C.

7．(2020·温州市普通高中模考)过抛物线y＝4x的焦点F的直线分别交抛物线于A，B→→→→两点，交直线l：x＝－1于点P，若PA＝λAF，PB＝μBF(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．

解析：直线x＝－1是抛物线的准线，如图，设A，B在直线l上的射影分|PA||PA||PB||PB|别是M，N，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，＝，＝，因为AM∥BN，

|AF||AM||BF||BN||PA||PB|所以＝，|λ|＝|μ|，又λ＜0，μ＞0，所以λ＋μ＝0.

|AF||BF|

答案：0

8．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦

54点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．

解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．

2

x2y2

y＝2（x－1），??22

2

由方程组?xy消去y，整理得3x－5x＝0.

＋＝1，??54

14

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得

x1＋x2＝，x1x2＝0.

则|AB|＝（x1－x2）＋（y1－y2） ＝ （1＋k）[（x1＋x2）－4x1x2] ＝ 222

2

53

?5?2?552

（1＋2）???3?－4×0?＝3.

????

55

答案：

3

12

9．(2020·温州市高三模拟)已知斜率为的直线l与抛物线y＝2px(p＞0)交于x轴上

2方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是________．

解析：设直线l：x＝2y＋t，联立抛物线方程得y＝2p(2y＋t)?y－4py－2pt＝0，设

2

2

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

Δ＝16p2＋8pt＞0?t＞－2p，

所以y1＋y2＝4p，

y1y2＝－2pt＞0?t＜0，即－2p＜t＜0，

x1x2＝(2y1＋t)(2y2＋t)＝4y1y2＋2t(y1＋y2)＋t2＝4·(－2pt)＋2t·4p＋t2＝t2， y1y2（2y2＋t）y1＋（2y1＋t）y2

所以k1＋k2＝＋＝ x1x2

x1x2

＝

t（y1＋y2）＋4y1y24pt－8pt4p＝＝－， 2

x1x2ttt4p因为－2p＜t＜0，所以－＞2，即k1＋k2的取值范围是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)

1xy10．过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，

2ab若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．

2

2

??

解析：设A(x，y)，B(x，y)，则?

xy??a＋b＝1，

1

1

2

2

2

22

222

x2y211

2＋2＝1，ab（x1－x2）（x1＋x2）（y1－y2）（y1＋y2）所以＋＝0， 22

aby1－y2b2x1＋x2所以＝－2·.

x1－x2ay1＋y2

15

因为

y1－y21

＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， x1－x22

b21所以－2＝－，

a2

所以a＝2b.又因为b＝a－c， 所以a＝2(a－c)， 所以a＝2c，所以＝答案：

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ca2. 2

11．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知椭圆E经过点A(2，3)，1

对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.

2

(1)求椭圆E的方程；

(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；

(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

x2y2

解：(1)设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，

ab1

因为椭圆E经过点A(2，3)，离心率e＝，

2

??所以?

49??a＋b＝1

2

2

a2－b21

＝a2

，所以a＝16，b＝12，

22

所以椭圆E方程为＋＝1.

1612

(2)F1(－2，0)，F2(2，0)，因为A(2，3)，

所以直线AF1的方程为3x－4y＋6＝0，直线AF2的方程为x＝2， |3x－4y＋6|

设角平分线上任意一点P(x，y)，则＝|x－2|.

5得2x－y－1＝0或x＋2y－8＝0，

因为斜率为正，所以直线l的方程为2x－y－1＝0.

1

(3)假设存在B(x1，y1)，C(x2，y2)两点关于直线l对称，所以kBC＝－，

21xy22

所以直线BC方程为y＝－x＋m代入＋＝1得x－mx＋m－12＝0，

21612

2

2

x2y2

16