(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.9 函数模型及其应用(讲)

借鉴借鉴家酷酷酷卡专题2.9 函数模型及其应用

【考纲解读】

要 求 内 容 A B C 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）. 函数概了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解念与基本初等函数模型及其应用 √ 函数Ⅰ 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题. 【直击教材】

1．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只． 答案：200

2．用18 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m.

18－4x9?9?2812

解析：设隔墙长为x m，则面积S＝x·＝－2x＋9x＝－2?x－?＋.所以当x＝时，能围成的面积

24?4?8812

最大，为 m.

881答案：

8

【知识清单】

1．几种常见的函数模型

函数模型 函数解析式 2

备注 决相关的简单问题. 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一 定综合性的问题. 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝ba＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) x2 1

借鉴借鉴家酷酷酷卡对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 2．三种函数模型性质比较

f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 在(0，＋∞)上的单调性 增长速度 图像的变化

y＝ax(a>1) 增函数 越来越快 随x值增大，图像与y轴接近平行 y＝logax(a>1) 增函数 越来越慢 随x值增大，图像与x轴接近平行 y＝xn(n>0) 增函数 相对平稳 随n值变化而不同 【考点深度剖析】

解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

②建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学结论还原为实际问题的意义．

【重点难点突破】

考点1 一次函数与二次函数模型

【1-1】 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地

网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差_________元．

【答案】10

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【1-2】将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个_________元． 【答案】95

【解析】设售价定为(90＋x)元，卖出商品后获得利润为：y＝(90＋x－80)(400－20x)＝20(10＋x)(20－x)＝20(－x＋10x＋200)＝－20(x－10x－200)＝－20[(x－5)－225]，∴当x＝5时，y取得最大值，即售价应定为：90＋5＝95(元)

.【思想方法】

(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；

(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题． 【温馨提醒】

1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．

2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 考点2 分段函数模型

【2-1】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)． 60，0≤x≤20，??

【答案】(1) v(x)＝?200－x，20

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(2) 当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值．

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【2-2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．

(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；

(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．

??2t，0≤t≤30，

【答案】(1) f(t)＝?

?－6t＋240，30

g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)． (2) 上市后的第30天．

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