数学模型第三版课后习题答案

《数学模型》作业解答

第二章(1)（2008年9月16日）

1． 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个

10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法；

（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：

A B C 1 2 3 4 5 235 … 333 111 … 432 216 144 108 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.

解：先考虑N=10的分配方案， 方法一（按比例分配）

分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（Q值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 第10个席位：计算Q值为

Q3最大，第10个席位应给C.分配结果为 n1?2, n2?3, n3?5

方法三（d’Hondt方法）

此方法的分配结果为：n1?2, n2?3, n3?5

此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.

pi是每席位代ni表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的 再考虑Npipi中选较大者，可使对所有的i,尽量接近. nini?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：

（1） （2） （3） 3 2 2 3 3 3 4 5 5 10 10 10 （1） （2） （3） 4 4 3 5 5 5 6 6 7 15 15 15 宿舍 A B C 总计 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.

考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得

?t0vdt?2?k?(r?wkn)dn

0n 第二章(2)（2008年10月9日）

15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车获得的功率

P与v、S、?的关系.

解: 设P、v、S、?的关系为f(P,v,s,?)?0， 其量纲表达式为: [P]=MLT2?3, [v]=LT?1,[s]=L,[?]=ML,这里L,M,T是基本量纲.

2?3量纲矩阵为：

1?2?10A=????3?1(P)(v)齐次线性方程组为：

它的基本解为y?(?1,3,1,1) 由量纲Pi定理得

2?3?(L)01??(M) 00??(T)(s)(????P?1v3s1?1， ?P??v3s1?1 ， 其中?是无量纲常数.

16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.

0-1-30

解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=LMT，[?]=LMT，

[?]=MLT（LTL）L=MLLTT=LMT，[g]=LMT,其中L，M，T是基本量纲.

-2

-1

-1

-1

-2

-2-2

-1

-1

0-2

量纲矩阵为

?1?3?11?(L)?0?(M)110?A=? ???10?1?2(T)??(v)(?)(?)(g)齐次线性方程组Ay=0 ，即 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲Pi定理 得

*??v?3??1?g. ?v??3?g?，其中?是无量纲常数.

16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.

解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为

[v]=LMT，[?]=LMT，[?]=MLT（LTL）L=MLLTT=LMT，[?]=LM0T0 ，[g]=LMT

0

-1

-3

0

-2

-1-1

-1

-2

-2-2

-1

-1

0-2

其中L，M，T是基本量纲. 量纲矩阵为

?1?0A=????1(v)齐次线性方程组Ay=0 即 的基本解为 得到两个相互独立的无量纲量 即

?(L)?(M)?

00?1?2?(T)?(?)(?)(?)(g)1?3?101110?1) v??g?1,?3/2?g1/2??1??2. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2?1 ?

???g?(?3/2?g1/2??1) , 其中?是未定函数.

20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l, 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为

其量纲表达式为：

[t]?L0M0T,[l]?LM0T0,[m]?L0MT0,[g]?LM0T?2,[k]?[f][v]?1?MLT?2(LT?1)?1?L0MT?1， 其中L，M，T是基本量纲.

量纲矩阵为

0?(L)?0101?0010?(M)1?A=? ???100?2?1?(T)(t)(l)(m)(g)(k)齐次线性方程组 的基本解为

得到两个相互独立的无量纲量

∴t?kl1/2l?1, ?1??(?2), ?2? 1/2gmglkl1/2?() ，其中?是未定函数 . gmg1/2'∴t? 考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t,t；

''l,l;m,m. 又t??m??当无量纲量ml?kl?1/2?() 1/2?gmgl?gl?. ??glll?t?时， 就有 ?lt《数学模型》作业解答

第三章1（2008年10月14日）

1. 在节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不

允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．

解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本．

10 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：

令

dC?0 ， 解得 T*?dT2c1 c2r