单级旋转倒立摆系统

图8 状态反馈系统?2和M零状态响应曲线

从响应曲线可以看出，在?2=0.174，M=0的初始扰动下，经过3s左右的时间，摆杆回到垂直的位置，这说明加入状态反馈后可以使原系统达到稳定状态。

5 带状态观测器状态反馈系统分析

5.1 状态观测器的设计

由于在系统建模时状态变量并不是都是能直接测量，因此人为地构建一个系统来实现状态重构也即状态观测。状态观测器的结构图如下，即

图9 状态观测器的结构图

观测器的状态方程为：

&?x?Ax?G(y?y)?Bu?(A?GC)x?Bu?Gy

???显然选择观测器的系数矩阵A?GC的特征值均具有负复数，就可以使状态估计逐渐逼近状态的真实值。本文设计全维状态观测器的特征值为：-10，-8，-2+2j，-2-2j，同理根据语句G=place(A’,C’,P2)可得

?G1?? 22.0000 ??G??172.3790?? G??2????G3??-158.6252 ?????G-597.5613??4??5.2 带状态观测器状态反馈分析

带观测器的状态反馈系统由3个部分组成，即原系统，观测器和状态反馈。

图10 综合后Simulink仿真图

初始值?2=0.174，M=0的零状态响应曲线如下

图11 综合后零状态响应曲线

从上面响应曲线可以看出，加入观测器后系统在3s左右达到稳定，这是因为观测器后极点特征值的实部更加偏离原点，极点离远点越近，达到稳定的时间越短。此外，综合后超调量略有增加。

综合后阶跃响应如图12所示。

图12 综合后阶跃响应曲线

从响应曲线可以看出，加入阶跃M=1后，摆杆发生左右来回振荡，振荡幅度较大，最终摆杆处于垂直位置，横杆位于一个具体位置。

6 总结

单倒立摆是一个非线性系统，通过近似线性变化，得到一个单输入单输出的

&，线性定线性定常系统。选择一组状态变量x1=?1，x2=? ，x3=?2 ，x4=?2常系统做稳定性，能控性和能观测性分析，得出原系统是不稳定，完全能控的，完全能观测的。

原系统在参考输入为零的情况下，系统状态在初始扰动的响应不能衰减至零，加入状态反馈后能够衰减至零。

利用状态观测器构成的状态反馈闭环系统零输入响应与直接进行状态反馈的闭环系统相比，暂态过程持续时间较长，这与极点的位置有关。综合后的阶跃响应达到稳定时间较长，还有剧烈的震荡，这符合实际情况。

?7 感想

本次课程设计利用现代控制理论建立空间状态变量以及状态反馈的方法，实现单级旋转倒立摆的理论模型，在过程中遇到比较大的问题是关于任意极点配置，如何配置极点能使系统响应速度较快且振荡较小，经过思考和参考文献，选取主导极点法，设定阻尼系数 ξ=0.6的一定的调节时间，得到一组主导极点，而另一组极点则利用4~5倍关系求出，最后顺利完成设计。

不足之处在于，响应的时间还是不够快，与实际情况有一定差异，课后我们小组会继续关注这个问题，寻求更好的办法实现。