(word完整版)2018年高考数学压轴题小题

可得：=b=，

可得，即c=2a，

．

所以双曲线的离心率为：e=故答案为：2．

8．（2018?江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为 ﹣3 ．

【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点， ∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞）， ①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，

函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去； ②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞， ∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增， 又f（x）只有一个零点， ∴f（）=﹣

+1=0，解得a=3，

f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]， f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），

f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减， f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，

∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1， ∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为： f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．

9．（2018?天津）已知a＞0，函数f（x）=

互异的实数解，则a的取值范围是 （4，8） ． 【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，

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．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个

得x2+ax+a=0， 得a（x+1）=﹣x2， 得a=﹣

，

，则g′（x）=﹣

=﹣

，

设g（x）=﹣

由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，

由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4， 当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax， 得x2﹣ax+2a=0，

得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立， 当x≠2时，a=设h（x）=

，则h′（x）==，

由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，

由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8， 要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解， 则由图象知4＜a＜8， 故答案为：（4，8）

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10．（2018?北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条

渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为

；双曲线N的离心率为 2 ． 【解答】解：椭圆M：

+

=1（a＞b＞0），双曲线N：

﹣

=1．若双曲线N的两条渐近线与

椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，

，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），

），可得：

，可得

解得e=．

，即

，

同时，双曲线的渐近线的斜率为可得：

，即

，

可得双曲线的离心率为e=故答案为：

；2．

=2．

11．（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=

+

的最大值为 + ．

，则

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1），

=（x2，y2），

由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=， 可得A，B两点在圆x2+y2=1上， 且

?

=1×1×cos∠AOB=，

即有∠AOB=60°，

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即三角形OAB为等边三角形， AB=1，

+

的几何意义为点A，B两点

到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，

显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行， 可设AB：x+y+t=0，（t＞0）， 由圆心O到直线AB的距离d=可得2

=1，解得t=

，

，

即有两平行线的距离为即故答案为：

++

．

=，

+

，

的最大值为

12．（2018?上海）已知常数a＞0，函数（fx）=则a= 6 ．

【解答】解：函数f（x）=

的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，

的图象经过点P（p，），Q（q，）．

则：，

整理得：

解得：2p+q=a2pq， 由于：2p+q=36pq， 所以：a2=36， 由于a＞0， 故：a=6．

=1，

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