平行四边形的性质及判定 - 典型例题 2

例3 ．如图1，在求证：ED∥BF．

ABCD中，E、F是AC上的两点．且AE=CF．

分析：欲址DE∥BF，只需∠DEC=∠AFB,转证=∠ABF≌△CDF,因

ABCD，则有AB

CD，从而有∠BAC=∠CDA．再由AF=CF

得AF=CE．满足了三角形全等的条件．

证明： ∵AE=CF AE+EF=CF+EF ∴AF=CE 在

ABCD中

AB∥CD(平行四边形的对边平行) ∴∠BAC=∠DCA(两直线平行内错角相等)

AB=CD(平行四边形的对边也相等) ∴△ABF≌△CDE(SAS) ∴∠AFB=∠DCE

∴ED∥BF(内错角相等两直线平行)

说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理．

例4 如图已知在△ABC中DE∥BC∥FG，若BD=AF、求证；DE＋FG=BC．

分析1：要证DE＋FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质．考虑将DE平移列BC上为此，过E(或D)作EH∥AB(或DM∥AC)，得到DE=BH、只需证HC=FG，因AF=BD=EH，∠CEH=∠A.∠AGF＝∠C所以△AFG≌∠EHC．此方法称为截长法．

分析2：过C点作CK∥AB交DE的延长线于K，只需证

FG=EK，转证△AFG≌△CKE．

证法1：

过E作EH∥AB交于H ∵DE∥BC

∴四边形DBHE是平行四边形(平行四边形定义) ∴DB=EH

DE=BH(平行四边形对边也相等) 又BD=AF ∴AF=EH ∵BC∥FG

∴∠AGF=∠C(两直线平行同位角相等) 同理 ∠A=∠CEH ∴△AFG≌△EHC(AAS)

∴FG=HC

∴BC=BH+HC=DE=FG 即CE+FG=BD

证法2：

. 过C作CK∥AB交DE的延长线于K. ∵DE∥BC

∴四边形DBCK是平行四边形(平行四边形定义) ∴CK=BD DK=BC (平行四边形对边相等) 又BD=AF ∴AF=CK ∵CK∥AB

∴∠A=∠ECK(两直线平行内错角相等)