求解高阶行列式的一些常用方法1

求解高阶行列式的一些常用方法

蒋 娅

摘要: 高阶行列式的求解是高等代数和线性代数中行列式部分的重要内容，也是

行列式中的难点。纵观近几年的考研试题，高阶行列式多以计算题的形式出现，其综合性较强，难度较大。因此，在解题过程中要进行周密的

分析，根据行列式中行或列元素的特点来选择相应的方法。本文主要结合自己在教学过程中遇到的一些实例，介绍了求解高阶行列式的一些常用方法和技巧。这些方法对行列式的进一步研究有一定的借鉴指导意义。

关键词:高阶行列式；定义法；三角形法；递推法

高阶行列式的求解是高等代数和线性代数中行列式部分的重要内容，也是行列式中 的难点。纵观近几年的考研试题，高阶行列式多以计算题的形式出现，其综合性较强，难度较大。因此，在解题过程中要进行周密的分析，根据行列式中行或列元素的特点来选择相应的方法。计算行列式的方法很多，常用方法有：定义法、三角形法、递推法、归纳法、 加边法、析因子法等。

1 定义法

x0yx...000y...00...............00...x000...。 yx 例1 计算n阶行列式Dn?...0y解： 由行列式的定义知此行列式除项a11a22...ann和a12a23...an?1,nan1外其余乘积项都

r(12...n)r(23...n1)nn?1nx.x....x?(?1)y.y...y?x?(?1)y。 是零，故Dn?(?1)

2 降阶化三角形法

x0yx...00...............n?1n00...x0y

00..?y(?1)yxn?1yx...000y...00...............00...yx00... 0y Dn按第一列展开x...00n ?x?(?1)注1：定义法就是利用n阶行列式的定义求行列式的方法。降阶化行列式法就是把原行列式通过按行（列）展开以降低阶数，从而转化为特殊的上（下）三角形行列式来求解的方法。

3 递推法

anbnan?1bn?1...... 例2 计算2n阶行列式Da1b12n?c。

1d1......cn?1dn?1cndn 解：

an?1bn?100an?1...............a1b1a1b1D2n按第1行展开anc1d1?bn(?1)1?2nc1d1.........cn?1dn?1cn?10dncnan?1bn?1an?1bn?1............ ?aa1b1cd?b1?1a1b1ndnncn(?1)2n?1cd

1............cn?1dn?1cn?1dn?1 ?(andn?bncn)D2(n?1)

于是D2n?(andn?bncn)D2(n?1)?(andn?bncn)(an?1dn?1?bn?1cn?1)D2(n?2)?...... ?(andn?bncn)(an?1dn?1?bn?1cn?1)...(a2d2?b2c2)(a1d1?b1c1) 4 拉普拉斯定理法

an?1bn?1...... D2n按第1,2n行展开anbn?(1?2n)a1b1cd(?1)(1?2n)ncd

n1......cn?1dn?1 2

bn?1......dn?10

?(andn?bncn)D2(n?1) 以下同递推法。

注2：递推法即是由原行列式Dn出发得出其与较低阶的行列式之间的关系式（即递推公式），最后得出Dn与D2和D1的关系。拉普拉斯定理法是该定理的直接应用。 5 差分法

a?bbaa?bb...000aa?b...00..................000...a?bb000...aa?b 例3 计算n阶行列式Dn?0...00。

解：

由Dn?(a?b)Dn?1?abD22n?2，令p?a?b,q??ab。由特征方程

??p??q?0得两特征根为：?1?a,?2?b。

nnnn若a?b，则Dn?c1?1?c2?2?c1a?c2b。

a?b?c1a?c2b? 由D1?a?b,D2?a2?ab?b2,有?2 222?a?ab?b?c1a?c2b解方程组得：c1?aa?b,c2?ba?b。故所求Dn?an?1?bn?1a?b。

nnnn若a?b，即特征方程有相等实根，这时Dn?c1?1?c2n?1?c1a?c2na。同样

n代入D1,D2可确定常数c1?c2?1，从而Dn?(n?1)a。

?(n?1)an,a?b?所以有：Dn??an?1?bn?1

,a?b?a?b?注3：差分法就是把关系Dn?pDn?1?qDn?2看着一差分方程，求出特征方程??p??q?0nn2的两个根；则

Dn?c1?1?c2?2(?1??2)nn或

Dn?c1?1?c2n?2(?1??2)，再从由D1,D2得到的方程组中定出常数c1,c2。

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6 数学归纳法

x0?1x...0an?10?1...0an?22...............00...xa200...?1x?a1例4 计算n阶行列式Dn?...0an。

解：当时n?2，D2?xa2?1x?a1?x?a1x?a2。

猜想：Dn?xn?a1xn?1?a2xn?2?...?an?1x?an。

设n?k时，Dk?xk?a1xk?1?a2xk?2?...?ak?1x?ak，则当n?k?1时，

x?1x按第1列展开x?1............xakak?1ak?2...a2?1x?a1x0Dk?1?...0ak?1?1x...0ak0?1...0ak?1...............00...xa200...?1x?a1?1x?ak?1(?1)k?1?1?1............x?1?xDk?ak?1?x(x?a1xkk?1?a2xk?2?...?ak?1x?ak)?ak?1?xk?1?a1x?a2xkk?1?...?akx?ak?1

nn?1n?2?a2x?...?an?1x?an。 因此，Dn?x?a1x注4：利用数学归纳法来计算行列式，分两步进行，第一步发现和猜想，第二步证明猜想的正确性。第二步的关键是首先要得到Dn关于Dn?1和Dn?2的递推关系式。 7 加边法（升阶法）

x?aaax?aa...aaax?a...a...............aaa...x?a 例5 计算n阶行列式Dn?a...a。

解：

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