考研数学基础串讲讲义

?二阶行列式是以两个行向量为邻边的平行四边

形的面积。

a11a21a31?a12a22a32a13a23a33

三阶行列式是以三个三维向量为邻边的平行六

面体的体积。

☆ n阶行列式是以n个n维向量为邻边拼成的

的n维图形的体积。 ②行列式的性质

1） 某行元素全为0?|A|=0 2） 某两行元素对应成比例?|A|=0 3） 互换两行元素?行列式添负号。 1223=? 23124） 某行乘以k≠0

?1?1k?2=k?2 ?3?35） 某行的k倍加到另一行?行列式值不变

即：sa11a21a12a22?a11a21?ka11a12a22?ka12?s'

6） 单行可拆性（可加性）

?1?1?1?1??2??1??2 ?2?2?27）A?AT?行列性质相同。（行列式经过转置，其值不变）

☆③重要结论—行列式是由向量拼成

??Dn?A?0?组成A的向量全独立.(线性无关) ??线性相关???Dn?A?0?组成A的向量至少一个多余￡④矩阵的本质

英语系 机械系男生 ?296?1） 表面上，?984?

女生 ??表达系统信息

kAn?n?knAn?n 2)本质上，秩(A)=r(A) 引入秩的定义：

??若?k阶子式不为0，?r?A??k。??k个独立向量?有且仅有k个独立向量??但?（k?1）阶子式全为0。??K?1个向量其中至少一个多余?

☆换言之，秩(A)=r(A)是指组成A的独立向量个数。

?123???1°如?021? ?006???2°化A为行阶梯型阵（行最简阶梯型阵）

① 若A满足

??1?若有0行，全在下方 ???2?从行上看，自左边起出现连续0的个数自上而下严格单增。称A为行阶梯型阵.

?7?0?如：?0??0?0??1?0??0??0?0?0253??0?137?0520?

?0000?0000??07118??0173?0002?

?0000?0000??② 进一步地，若A还满足

?3）台角位置元素为1 ??4）台角正上方元素全为0称A为行最简阶梯阵。

?1?0??0??0?0?0050?0130??0001?

?0000?0000??③ 初等行变换

?123??216?1） 互换?????

?216??123?2） 倍乘?213????4?2?6?

?123??123?3） 倍加?????

?216??0?30?④ 任何可逆矩阵A一定可以通过若干次初等行换

化成同阶单位阵E ?***??10????***???01?***??00???0??0??E 1??