考研数学基础串讲讲义

限自然不存在。

难道以上的解法真的对嘛？直接约分得：原式

1=lim sin.有界变量与无穷小之积，结果为零。x?0x很明显，洛必达法则在这里是不能用的。洛必达法则是后验逻辑，也就是说，我们求导得出的式子的极限存在才能说原来函数的极限存在，而原来函数的极限存在，并不意味着求导后的极限一定存在。所以，洛必达法则，并不是随便用的。我们不能在此用洛必达法则解题。那么怎么办呢？是不是一定没有思路了呢？我们想到了一个人，他叫泰勒。

给大家讲个故事吧：从前有一对夫妇，丈夫叫sinx，妻子叫cosx，有一天晚上，sinx出去了，出去干嘛了呢？听相声。郭德纲专场。结果到了很晚，sinx还没有回家，cosx着急了，过了一会儿有人来敲门。门外站了这么一个人:

x3x5x-++………. 3?5!啊呀长得好复杂。cosx问：“你是谁呀？”那人回答：“我是你丈夫sinx啊！”cosx:“你怎么变成了这个样子？”那人回答：“老婆，今晚相声

太乐（泰勒）了。”于是sinx泰勒展开了。于是不仅仅是sinx,cosx、tanx、arcsinx、arctanx、e、ln(1+x)…..

以至于所有可导f(x)????? ?anx

归于展开为x

n

看到没有，所有可导函数都可以表示成了幂函数的叠加。多么伟大的贡献啊~那么我们考研要求的泰勒公式，一共有八个：

13sinx=x-x+o(x3)

61214cosx=1-x+x+o(x4)

242133arcsinx=x+x+o(x)

613arctanx=x-x+o(x3)

3133tanx=x+x+o(x)

31213e=1+x+x+x o(x3)

26x1213ln(1+x)=x-x+x+o(x3)

23?1?x?=1+?x+

?α???1?2x2+o(x2)

133根据sinx=x-x+o(x)得：

613x-sinx~x（x→0）

6再推广一下

13狗-sin狗~狗（狗→0）

61故上题a=1,b=,你看出来了吗?有些人问，为什

6么a一定是1？如果a不是1，那么x-sinax会出现一次项，在x趋向于0时，次数越低的项趋近于无穷小的速度越快。如果有一次项，则可泰勒等价为(a-1)x+o(x)而不能与三次方等价。故a=1.

(sinx?sin(sinx))sinx lim4x?0x13sinx??16原式=lim= 3x?06x【注】展开原则

A1°型——“上下同阶”原则

B——若分母（分子）是xk，则分子（分母）展开至x

k

13-x?o(x3)x?tanx13如：lim=lim=- 33x?03x?arcsinx?x?02°A-B型（A+B=A-(-B)） ——“幂次最低原则”

——将A、B分别展开至系数不相等的最低次幂为止。

如（2016）当x→0时，f(x)=cosx-e为等价无穷小量，求c,k

1214cosx=1-x+x+o(x4)

242ex2?2x2?2与g(x)=cxk

12144=1-x+x+ o(x)

28x2214

故cosx-e =-x+o(x4)

121故c=-，k=4.

12（2015）设f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx3,若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小量，求a,b,k。