考研数学基础串讲讲义

10 ???①>0，X>0,当x>X时，恒有|f(x)-A|

x???1②??>0，?正整数k，当0<|x-x0|≤时，恒有

k1|f(x)-A|≤

2N?x???limf(x)=A

③???（0,1），?正整数N，当n≥N时，恒有|f(x)-A|≤2?

?limn??f(x)=A

正确的个数为 个。

【分析】①不论尺度?以何种形式出现，必须且仅需两个条件： ??0 ??可以任意小???0 存在而非唯一

?题目中第①个说法中，它的测度e10已经大于1，说明不能任意小，所以排除此项。

②极限的定义中明明写的是不带等的定义，而题

目中条件却带着等，那么条件还正确嘛？ ——带等不带等，结果是一样的。?是存在的而不唯一，?代表着“附近”，仅是存在而已。书上定义说是开区间成立，那么它的子闭区间必然成立。?既然不是固定的，你可以说里面的是?。自然成立等价条件：立即推 0<|x-x0|N?n≥N

|f(x)-A|

【例2】设liman=a,且a≠0，则当n充分大时

n??（ ）

11A） an>a- B) an< a+

nn|a||a|C) |an|> D) an<

22【分析】本题很好的考察了极限的定义。看到

liman=a，立马可以写成极限定义的格式：

n????>0，?N>0,n>N，|an-a|

原题中较明显的问题就是取测度咯，A、B采用

1|a|，C、D则使用了。至于为什么我会送你一

2n句话：请观察选项。那么好，我们先来看A、B

111取?=，a-

nnn往下看：

|a|取?=，（对于不等式有如下公式||a|-|b||≤|a-b|。

2可以理解为，a到b的距离一定大于a的长度与b长度的差值。这个请考生自行画图证明，不做赘述）

|a|根据上述不等式得：||an|-|a||≤|an-a|<

2|a|3|a|<| an|< 22故得出了三个答案。（这类题通常作为打开试卷的头一题，难道命题人出错题了嘛？当然没有！） 【注】?是一个很小很小很小的数，而不是一个无穷小量！

1+当n→∞时，→0是变量 n|a|而是一个常数。 2取测度取常数而不取变量。 所以最后的答案是C。 2. 稳定性

（2015）设f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx,若f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小量，求a,b,k。 （2009）设f(x)=x-sinax，g(x)=bx3，若f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小量，求a,b 【分析】先讲2009

根据已知条件，写出如下式子：

x?sinaxf(x)=lim=1 lim3x?0g(x)x?0bx3你是不是想到了洛必达？如果你说是，那么我们再来看一道例中例

1xsinx 【例中例】limx?0x211（洛必达法则）=lim2xsin-cos

x?0xx好了前面那个叫有界变量乘以无穷小，那后面那个呢？有界震荡。好嘛cos?，不断地波动，极