考研数学基础串讲讲义

【th】若f’(x)=0至多一个根，则f(x)至多两个根。 【反证】设f(x)=0至少三个根，

?f(a)?f(b)?0?f'(?1)?0F(a)=f(b)=f(c)=0??

?f(b)?f(c)?0?f'(?2)?0

f’(?)=0至少两个根，与命题矛盾！证毕。 【th】若f’(x)=0至多两个根，则f(x)至多三个根。 【反证】设f(x)=0至少四个根，

f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0?f’(?1)=f’(?2)=f’(?3)=0 f’(?)至少三个根，与命题矛盾！证毕！ 【th】若f’(x)=0至多k个根，则f(x)至多k+1个根。

☆☆罗尔原话： 若ff?n??n?1??x??0至多k个根

?x?至多k+1个根。

?罗尔定理（证明你要会）

?①在闭区间连续?设f(x)满足三条?②在开区间可导

?③f(a)?f(b)?则，f’(?)=0 ???(a,b) ?-中值

(光滑曲线两端点相等，必有极值点) ???(a,b),f’(?)=0

【例】证明lnx=e??实根 【分析】?=?x?01?cos2xdx有且有两个

?01?cos2xdx

?02sinxdx

=22

?0sinxdx=2

?3?4sinxdx=???2 424sinxdx=1- ?3?245?4sinxdx（2006）?=2-2

3?4常识！！！请记住！

故lnx=ex?22 (x>0) 即lnx-e?22=0 （0，+∞） 记f(x)= lnx-e+22 ① 存在性—“有”

xxf(1)= 22-e>0

xlim?f(x)?xli?m0?(lnx?ex?0?22)?0 xlim???f(x)?lim(lnx?exx????22)?0

x→∞，e?xx?ln?x （α，β

?由零点定理可知，

f(x)至少有两个零点；

γ>0），