正方形与全等模型(含答案)

°，

∴在∠NAM作AU=AB=AD，且使

∠BAN=∠NAU，

∠DAQ=∠QAU，

∴△ABN≌△UAN，

△DAQ≌△UAQ，有

∠UAN=∠UAQ，BN=NU，DQ=UQ， ∴点U在NQ上，有

BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正确． 故选D．

点评：

本题利用了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．

12．（1）如图①，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC边上一点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．可猜想线段CF，BD之间的数量关系是 相等 ，位置关系是 垂直 ；

（2）当点D在线段BC的延长线时，如图②，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，给出证明，如果不成立，说明理由．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 几何综合题． （1）可通过证明三角形ABD和三角形ACF全等来实现．因为AD=AF，AB=AC，只要证明

∠BAD=∠CAF即可，

∠BAD=90°﹣∠DAC=∠FAC，这样就构成了全等三角形判定中的SAS，△ABD≌△ACF，因此BC=CF，∠B=∠ACF，因为

∠B+∠ACB=90°，那么

∠ACF+ACD=90°，即FC⊥BC，也就是FC⊥BD． （2）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出

△DAB≌△FAC，所以CF=BD，

专题： 分析：

解答：

∠ACF=∠ABD．结合

∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD． 解：（1）CF与BD的数量关系是：CF=BD； 位置关系是：CF⊥BD； 故答案为：相等、垂直．

（2）当点D在BC的延长线上时（1）中的结论仍成立．（5分）

理由如下： 由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°． ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC，（4分） ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．（6分）

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=45°， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD． 本题中综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定等知识，关键是证明三角形全等，判定两个三角形

点评：

全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

13．已知点O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD．

（1）当点M在线段OD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果； （2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 证明题；探究型．

（1）根据正方形性质求出AF=AM，AD=AB，

∠FAM=∠DAB=90°，推出∠FAD=∠MAB，证

△FAD≌△MAB，推出BM=DF，

∠FDA=∠ABD=45°，求出∠ADB=45°即可；

（2）根据正方形性质求出AF=AM，AD=AB，

∠FAM=∠DAB

专题： 分析：