正方形与全等模型(含答案)

考点：

正方形的性质；垂线；全等三角形的判定与性质．

（1）过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为G、H，有材料提供的证明思路可证明△PGE≌△PHF，再根据全等三角形的性质：对应边相等可得：PE=PF；

（2）有（1）证题思路可知方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，则△PGE∽△PHF，再根据相似三角形的性质：对应边的比值相等可得：的比值． 解：（1）成立． 证明如下： 如图，过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为G、H， 则∠GPH=90°，PG=PH，

∠PGE=∠PHF=90°，

∵∠EPF=90°， ∴∠1=∠2， ∴△PGE≌△P

分析：

解答：

HF，

∴PE=PF；

（2）

．

点评：

本题是一个动态几何题，考查了正方形性质、矩形的性质、全等三角形的判定以及性质，三角形相似的条件和性质及进行有条理的思考和表达能力，还考查按要求画图能力．

11．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④定成立的是（ ）

为定值．其中一

①②③ A． B．① ②④

考点： 正方形的性质；

全等三角形的判定与性质；确定圆的条件．

专题： 动点型． 分析： 由题可知A，B，

N，M四点共圆，进而可得出∠ANM=∠NA

②③④ C．

D．① ②③④

M=45°，由等角对等边知，AM=MN，故①正确；

由同角的余角相等知，

∠HAM=∠PMN，所以

Rt△AHM≌Rt△MPN，即可得出结论，故②正确；

先由题意得出四边形SMWB是正方形，进而证出

△AMS≌△NMW，因为

AS=NW，所以AB+BN=SB+BW=2BW，而BW：BM=1：，所以

=

=

，故③正确． 因为

∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，在∠NAM作AU=AB=AD，且使

∠BAN=∠NAU，

∠DAQ=∠QAU，所以

△ABN≌△UAN，

△DAQ≌△UAQ，有

∠UAN=∠UAQ=90°，BN=NU，

DQ=UQ，即可得出结论，故④正确；

解：如图：作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，

解答：

∵∠AMN=∠ABC=90°，

∴A，B，N，M四点共圆， ∴∠NAM=∠DBC=45°，

∠ANM=∠ABD=45°，

∴∠ANM=∠NAM=45°， ∴由等角对等边知，AM=MN，故①正确． 由同角的余角相等知，

∠HAM=∠PMN，

∴Rt△AHM≌Rt△MPN ∴MP=AH=AC=BD，故②正确，

如图，作

MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点， ∴四边形

SMWB是正方形，有

MS=MW=BS=BW，

∴△AMS≌△NMW， ∴AS=NW， ∴AB+BN=SB+BW=2BW， ∵BW：BM=1：， ∴

=

=

，故④正确． ∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45