高等几何观点下的初等几何

盐城师范学院毕业论文（设计）

高等几何观点下的初等几何

姜 羽

高等几何知识与初等几何知识的沟通,为我们提供了解决初等几何的一些方法,对初等几何教学,对于教师思考和解决问题,有具体的指导意义.利用高等几何的观点和思想方法,将已知初等几何命题进行变换,获得相关的其他初等几何命题,具有重要的意义.本文通过初等几何和高等几何解决问题的方法进行对比,从仿射几何和射影几何的理论和方法出发,探讨它们在初等几何中的若干应用.

1 仿射变换在初等几何中的应用

1.1 仿影变换为初等几何的有关内容提供了理论依据

仿射变换即平行投影变换,保持图形的结合性、平行性、单比、封闭图形面积比不变,直线仍变为直线,圆锥曲线仍变为圆锥曲线,而且圆锥曲线的中心、直径和共轭直径等,也保持不变.

因此,对于不涉及线段、角和图形面积定量研究的几何问题中,可以对图形进行仿射变换,将其变到易于讨论的情况,发现其某些非度量性质,使问题获得解决或发现解题思路.通常所说的平移、旋转、对称和相似变换,都是仿射变换的特例. 1.2 仿射变换为初等几何的某些问题提供了简捷的解题方法

我们知道,平面几何中的特殊图形：圆、正三角形、菱形经过仿射变换作用后,分别变成一般图形：椭圆、三角形、平行四边形.反之,仿射变换就可以将一般图形变成它们对应的特殊图形.由于特殊图形具有较多性质,所以原命题会变得容易证明. 例1 已知平行四边形ABCD（如图1-1左）的边AB,CD上各有一点E,F且EF??AC,试证明?AED与?CDF的面积相等.

A' D'AD

BE FC φ E'图1-1 B'F'C'证法1（初等几何方法）

BEBF?. ? EF??AC,?AECF?A?E.B即 BE?CF

而 CF?CD?CF?AB

?CF?AE?CF?EB

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?CF?AE?AE?BF

?AE?BC ?AE?AD.

1?DAE?AE?AD ? S?AED?sin21?sin?FCD?CF?CD 2?S?CDF.

证法2（仿射变换方法）

设已知的平行四边形ABCD由一个正方形A?B?C?D?（如图1-1右）经过仿射变换?得到,且E?对应E,F?对应F,E?,F?点分别在边A?B?,B?C?上, E?F???A?B?.由于在正方形ABCD中,?A?E?D???C?D?F?,即两三角形的面积之比为1?1,则根据仿射理论“仿射变换保持两封闭图形面积之比不变”,可知上述图形的仿射对应图形?AED与?CDF的面积之比也为1?1,从而得证?AED与?CDF的面积相等.

在仿射几何中,图形在适当的仿射变换下都具有平行两线段长度之比、两封闭图形面积之比不变性质,抓住这一点,不但能使命题证明变得简捷,而且还能推断出这些性质在原图形中也成立,从而能构造出其他相关命题.

例2 设P是?ABC内任意一点,直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E、

PDPEPFAPBPCPF（如图1-2）,则（1）++=1；（2）++=2.

ADBECFADBECF

A

EFBHG DP'P CA'图1-2

证法1（初等几何方法）

（1）如图1-2,分别过P、A作BC的垂线,垂足分别为P?、A?.则有

S?PBCS??BC1BC?PP?PP?PD?2??. 1AA?ADBC?AA?2PES?PCAPFS?PAB??同理 ;. BES?ABCCFS?ABC故

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PDPEPFS?PBC?S?PCA?S?PAB????1. ADBECFS?ABCPDAD?APAP==1?,等等,所以由（1）式立即可得（2）式. ADADAD证法2（仿射变换方法）

（1）如图1-2,分别沿AB和AC方向作平行投影P?G、P?H.由仿射变换保

（2）因为

简单比不变得：

PDDGDH==. ADBDCD? 又? PDGH=. ADBCPEHCPFGB== ;, BEBCCFBC?

PDPEPFGHHCGB++=++=1. ADBECFBCBCBC（2）同证法1（2）.

关于证法2,当然也可转化为初等几何方法,即作PG??AB,PH??AC.但这真正体现出了高等几何的仿射变换即平行投影变换的观点,只是运用高等几何观点更能透彻看出问题本质.

x2y2例3 设椭圆的方程为2?2?1(a?b?0),（如图1-3）求与斜率为K的弦共

ab轭的直径方程.

yyCOBAxB'C'OA'x图1-3

证法1（初等几何方法）

设弦AB的直线方程为y?kx?m,点A(x1,kx1?m),B(x2,kx2?m),C(x3,y3). 则有

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x3?x1?x2kx?m?kx2?mk(x1?x2)??m. ,y3?1222 故所求直径方程为

y?y32mx?(k?)x. x3x1?x2?2a2km将椭圆方程与弦方程联立方程组,可求得x1?x2?222.代入上述直径方程得

ka?bb2x?a2ky?0.

证法2（仿射变换方法）

ba???x??x?x?x? 设弦AB的直线方程为y?kx?m,则经仿射变换有?a,即?b,

??yy??y???y?将椭圆方程变为x?2?y?2?b2,将弦方程变为y??与此弦垂直的,其方程显然是y???akx??m.而弦的共轭直径在圆中是bbx?,此方程经上述仿射变换还原到椭圆中去即akbb为所给弦的共轭直径方程y???x,即b2x?a2ky?0.

aka变换思想是一类主要的数学思想.应用变换的方法去解题可使问题得到简化,从而在在解题中取得较好的效果.仿射变换就是几何变换中的一类重要变换.从上述讨论中可以得出应用仿射变换解题的步骤可概括如下：①判断求解的问题是否能利用仿射不变性质,仿射不变量求解,一般涉及到点共直线、直线共点、线段比、面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题；②选择合适的仿射变换,找出所给图形的合适的仿射图形;③在仿射图形中求证,写出具体的仿射变换及解题过程.

2 用射影观点研究初等几何问题

2.1 笛沙格定理的应用 2.1.1 笛沙格定理简介

定义1 平面内不共线的三点与每两点的连线所组成的图形叫做三点形.平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性.

笛沙格定理：如果两个三点形对应顶点连线交于一点,则对应边的交点在同一直线上.

笛沙格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在同一直线上,则对应顶点的连线交于一点.

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