2020版高考物理一轮复习第四章第4讲万有引力与航天教案新人教版

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在同一直线上，方向都指向地心；③球体积公式V＝πR.

3

22

MmMm4π(g0－g)T【解析】 在地球两极处，G2＝mg0，在赤道处，G2－mg＝m2R，故R＝，2

RRT4π

M3g03πg0

则ρ＝＝＝＝2 ，B正确．

43434πRGGTg0－gπRπR33

【答案】 B

R2g0

G

由于地球的自转，在地球表面的物体，重力与万有引力不严格相等，重力为万有引力的一个分力，由于二者差别较小，计算时一般可以认为二者相等，即G2＝mg，GM＝gR，这就是万有引力定律应用中经常用到的“黄金代换”.

MmR2

1．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10

－119

N·m/kg.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( C )

3

22

A．5×10 kg/m C．5×10 kg/m

15

3

B．5×10 kg/m D．5×10 kg/m

18

3

123

解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用．以周期T稳定自转的星体，当星体的密

GMm4π2M度最小时，其表面物体受到的万有引力提供向心力，即2＝m2R，星体的密度ρ＝，

RT43

πR3

3π3×3.143153

得其密度ρ＝2＝－11－32 kg/m≈5×10 kg/m，故选项C正确．

GT6.67×10×(5.19×10)

2．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( A )

A．1－ C.?

dRB．1＋ D.?

dR?R－d?2

??R??R?2

??R－d?

解析：

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如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面质量为m的物体受到的重力近似等于万有引力，故mg＝G2；设矿井底部处的重力加速度为g′，“等效地球”的质量为M′，其半径r＝R－d，则矿井底部质量为m的物体受到的重力mg′＝G4g′dM′＝ρV′＝ρ·π(R－d)3，联立解得＝1－，A正确．

3gR考点3 万有引力定律在天体运动中的应用

考向1 天体质量和密度的计算

(1)自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

MmRM′m43

，又M＝ρV＝ρ·πR，r23

MmgR2

①由G2＝mg得天体质量M＝. RG②天体密度：ρ＝＝

MM3g＝.

V434πGRπR3

(2)借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.

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Mm4π2r4πr①由G2＝m2得天体的质量为M＝.

rTGT2

②若已知天体的半径R，则天体的密度

3MM3πrρ＝＝＝. V43GT2R3

πR3

3π

③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝2，GT可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T，就可估算出中心天体的密度．

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1．在某星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，引力常量为G，忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为h，已知该星球的直径为d，下列说法正确的是( A )

2v20dA．该星球的质量为 8Gh2v20dB．该星球的质量为 2GhC．在该星球表面发射卫星时最小的发射速度为

v0

4d hd hD．在该星球表面发射卫星时最小的发射速度为v0

v20

解析：物体做竖直上抛运动，根据运动学公式可得星球表面的重力加速度为g′＝，

2h因而在该星球表面发射卫星的最小速度为vmin＝g′R＝

v0

2d，选项C、D错误．设星球的h2

Mmv20d质量为M，物体的质量为m，在星球表面上有G2＝mg′，解得M＝，选项A正确，B错

R8Gh误．

2．据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍．已知近地卫星绕地球运行的周期约为T，引力常量为G.则该行星的平均密度为( C )

A.C.3π

2 π2 3T3πa2 GTB.D.

3πb2 aGTbGTM地m4π2R3M地

解析：万有引力提供近地卫星绕地球运行的向心力：G2＝m2，且ρ地＝3，

RT4πR3πρ星M星V地b3πb联立得ρ地＝2.而＝＝，因而ρ星＝2.

GTρ地V星M地a

aGT计算中心天体的质量、密度时的两点区别

(1)天体半径和卫星的轨道半径

通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．

(2)自转周期和公转周期

自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．

考向2 双星及多星系统

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(1)多星系统的条件 ①各星彼此相距较近．

②各星绕同一圆心做匀速圆周运动． (2)多星系统的结构 类型 双星模型 三星模型 结构图 向心力 由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等 运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供 运动参量 各行星转动方向相同，周期、角速度相等 (2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并

的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )

A．质量之积 C．速率之和 再求未知量．

【解析】 本题考查万有引力定律的应用等知识．双星系统由彼此间万有引力提供向心力，得

B．质量之和 D．各自的自转角速度

[审题指导] (1)根据题意，抽象物理模型，画出示意图；(2)找到题目给出的已知量，

Gm1m2m1m22π22

，两颗星的周期及角速度相同，即T1＝T2＝2＝m1ω1r1，G2＝m2ω2r2，且T＝

LLω23

m1r24πLr2

T，ω1＝ω2＝ω，两颗星的轨道半径r1＋r2＝L，解得＝，m1＋m2＝2，因为未知，m2r1GTr1

故m1与m2之积不能求出，则选项A错误，B正确．各自的自转角速度不可求，选项D错误．速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω·L，故C项正确．

【答案】 BC

双星模型的重要结论

(1)两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. (2)双星的运动周期T＝2π

m1r2

m2r1

L323

G(m1＋m2)TG. 4πL(3)双星的总质量m1＋m2＝2.

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