[专业资料]新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 含解析

最新资料 2.2.2 椭圆的简单几何性质

课时过关·能力提升

基础巩固

1已知点(3,2)在椭圆??2+A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上

D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上

解析:由椭圆以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心可知,点(-3,2)在椭圆上,故选C. 答案:C 2已知椭圆A.(±√3,0) 答案:A ??2

3已知椭圆5

??2√10

+??=1的离心率e为5,则实数k的值为( ??2??2

??2

??2??

2=1

上,则( )

+

??2??

2=1(a>b>0)有两个顶点在直线

x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是( ) D.(0,±√5)

B.(0,±√3) C.(±√5,0)

)

A.3 C.√5 答案:B B.3或3 D.√15或3

√1525

4已知椭圆中心在原点,一个焦点为(-√3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是( ) A.4+y2=1

??22

C.3+y=1 ??2

B.x2+4=1

??D.x2+

2

??2

3=1

解析:∵一个焦点为(-√3,0),

∴焦点在x轴上且c=√3.

又∵长轴长是短轴长的2倍, 即2a=2×2b,即a=2b.故选A. 答案:A 5已知椭圆的焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为4√5,则该椭圆的标准方程为( )

部编本试题，欢迎下载！ 最新资料 A.36+16=1

??2C.6

??2

+4=1

??2??2

B.16+36=1

??2D.6

??2

+4=1

??2??2

答案:A ??2

6设F1,F2是椭圆E:??2

+

??2??

2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=2上一点,△F2PF1是底角为30°

3??

的等腰三角形,则椭圆E的离心率为( ) A.2

1

B.3 2

C.4

3

D.5 4

解析:∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,

∴∠PF2A=60°,|PF2|=|F1F2|=2c. ∴|AF2|=c.∴2c=2a. ∴e=4,故选C.

答案:C 7以坐标轴为对称轴,且过点(5,0),离心率e=5的椭圆的标准方程是 . 答案:25+5=1或25+125=1

8已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,求该椭圆的离心率.

??2??2

??2

??2

2√5

3

3

分析不妨设椭圆的焦点在x轴上,如图,由AB⊥F1F2,且△ABF2是正三角形,得出在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.

令|AF1|=x,则|AF2|=2x,

由勾股定理,求得|F1F2|=√3x=2c. 而|AF1|+|AF2|=2a,即可求出离心率e.

部编本试题，欢迎下载！ 最新资料 解:不妨设椭圆的焦点在x轴上,如图.

∵AB⊥F1F2,且△ABF2为正三角形, ∴在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.

令|AF1|=x,则|AF2|=2x.

故|F1F2|=√|????2|2-|????1|2=√3x=2c. 由椭圆定义可知,|AF1|+|AF2|=2a. 因此,e=2??=3??=3.

9椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2√2,OC的斜率为2,求椭圆的方程.

解:法一设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得

22a??1+b??1=1, 22a??2+b??2=1.

√2

2??√3??√3① ②

由②-①,得

a(x1+x2)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0. 而

??2-??1??+??√2=kAB=-1,21=kOC=,则??2-??1??2+??12b=√2a.

∵|AB|=√1+??2|x2-x1|=√2|x2-x1|=2√2, ∴|x2-x1|=2.

????2+????2=1,又由{得(a+b)x2-2bx+b-1=0,

??+??=1,

∴x1+x2=??+??,x1x2=??+??. ∴|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2

2??2??-1=(??+??)-4·=4. ??+??2????-1

将b=√2a代入,得a=3,b=3.

??2故所求的椭圆方程为31√2+3y2=1.

√2解:法二由直线方程和椭圆方程联立,得

????2+????2=1,{得(a+b)x2-2bx+b-1=0. ??+??=1,设A(x1,y1),B(x2,y2).

则|AB|=√(1+??2)[(??1+??2)2-4??1??2]

部编本试题，欢迎下载！ 最新资料 =√2√

4??-4(??+??)(??-1)

(??+??)

22

.

∵|AB|=2√2,∴√??+??-??????+??=1.

??

??

①

设C(x,y),则x=12√2??+??2

=??+??,y=1-x=??+??.

??

√2∵OC的斜率为2,∴??=

代入①式,得a=3,b=3.

1

√22

.

故所求的椭圆方程为3+3y2=1.

??2

√2能力提升

1过椭圆

??2??2

+

??2??

2=1(a>b>0)的左焦点

F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,

则椭圆的离心率为( ) A.2 C. 解析:由点答案:B ??2

2设AB是椭圆??2

2

√2B.3 D. 13

√3

12

??3??

P(-??,±??),∠F1PF2=60°,得??2

=2a,从而可得e=??=3,故选B.

??√3+

??2??

2=1(a>b>0)的长轴,若把线段

AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分

别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是( ) A.98a

B.99a

C.100a

D.101a

解析:由椭圆的定义及其对称性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故结果应为50×2a+|F1P50|=101a. 答案:D 3椭圆??2+

??2

??2??

2=1(a>b>0)的左顶点为

A,左、右焦点分别为F1,F2,D是它短轴的一个端点,若

????? ??????? ? 3??????????1=????+2????2,则该椭圆的离心率为( ) A.2

1

B.3 1

C.4

1

D.5 1

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