《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案

一、填空题（每个空格4分，共80分）

1、n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程

2dy?2x的通解为 y?x2?C（C为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 dx2y?x?1 ，与直线y=2x+3相切的解是 y?x?4 ，满足条件?ydx?3的解为 y?x2?2 。

033、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程

dy?(x?y)2作变换 u?x?y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 dxy?tan(x?C)?x 。

5、方程

dy??1?y2过点(,1)共有 无数 个解。 dx26、方程

y?x''2x4x2?1的通解为 y?12?2?C1x?C2 ，满足初始条件y|x?1?2,y|x?3?5的特解为

x4x219y???x? 。

122647、方程

dy?dxy?x?x 无 奇解。

?dy?z??dxd2ydy8、微分方程2? 。 ?6y?0可化为一阶线性微分方程组 ?dzdxdx??z?6y??dx9、方程

dy?dxy的奇解是 y=0 。

d3ydy10、3?2x5?3是 3 阶常微分方程。

dxdx11、方程

dy?x2?y2满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy平面 。 dxd2ydy5x?x12、微分方程2?4?5y?0通解为 y?C1e?C2e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 dxdx?dy?z??dx 。 ?dz??4z?5y??dx13、二阶线性齐次微分方程的两个解y??1(x),y??2(x)成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。

?e?2t?13?dX?AX有基解矩阵 ?(t)???2t14、设A??，则线性微分方程组?dt?42???e

二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、(x?2y)dx?xdy?0 答案：方程化为

3e5t?? 。 4e5t?dyy?1?2 dxxdydudu?u?x?1?u 令y?xu，则，代入上式，得xdxdxdx分离变量，积分，通解为u?Cx?1

2∴ 原方程通解为y?Cx?x

?dx?x?y??dt2、?

dy??4x?y??dt答案：特征方程为 A??E?1??411???0即?2?2??3?0。

特征根为 ?1?3，?2??1 对应特征向量应满足 ??a1??1??1?31??a1??0??可确定出 ?b???2? ??b??0?41?3???1????1????a2??1?同样可算出?2??1对应的特征向量为?????

?b2???2??e3t??e?t??x?∴ 原方程组的通解为???C1?3t??C2? 。 ?t?y???2e???2e? 3、

dy?3y?e2x dx令非齐次方程的特解为y?C(x)e?3xC(x)?1e5x?C

5代入原方程，确定出原方程的通解为y?Ce?3x+e2x

答案：齐次方程的通解为y?Ce?3x

15

dy?2x?y； dxdy?2x?y是一个变量分离方程 答案：dx4、

变量分离得2dy?2dx

yx 两边同时积分得2y?2x?c（其中c为任意常数） 5、

dyy??exy dxxxy答案：dy?exy?xy?xe?y

dxxxdy?(xexy?y)dx xdy?ydx?xexydx

dxydxy?xexydx xy?xdx

e11积分：?e?xy?x2?c 故通解为：x2?e?xy?c?0 22

26、

?y?x(x?y2)dx?xdy?0

?答案：

ydx?xdy?x(x2?y2)dx?0

22ydx?xdyx12?xdx?0d(arctg)?dx?0， ，即22x?yy2x12故原方程的解为arctg?x?C

y2两边同除以x?y得

?dx?2x?4y??dt7、? .

dy???5x?3y??dt答案：方程组的特征方程为A??E?2???5?43???0

即(2??)(3??)?(?4)?(?5)?0，即?2?5??14?0 特征根为?1?7，?2??2

对应特征向量应满足??a1??4??2?7?4??a1??0??，可得?b????5? ??b??0??53?7???1????1????a2??1????2 同样可算出2时，对应特征向量为?????

?b2??1?

?4e7t??e?2t??x??C2??2t? ∴ 原方程组的通解为???C1?7t?y????5e??e? 8、x???x?sint?cos2t

x?0的特征方程?2?1?0故特征根???i

答案：线性方程x???f1(t)?sint ??i是特征单根，

原方程有特解x?t(Acost?Bsint)代入原方程A=-

1B=0 2f2(t)??cos2t ??2i不是特征根，

1B=0

?Acos2t?311所以原方程的解为x?ccost?csint?tcost?cos2t

1223原方程有特解xBsin2t代入原方程A?

9、(2x?2y?1)dx?(x?y?2)dy?0 答案：

dy2(x?y)?1dzdy

，令z=x+y，则???1?dx(x?y)?2dxdxdz2z?1z?1?z?2?1??,dz?dx dxz?2?z?2z?1所以 –z+3ln|z+1|=x+C1， ln|z?1|3=x+z+C1

即(x?y?1)3?Ce2x?y

d2xdx10、2??x?0

dtdt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。 其特征方程为?2???1?0 特征根为?1??1313?i，?2???i 222213(??i)t22 ∴ 方程的通解为x?c1e 11、

?c2e13(??i)t22t33?1?(c1cost?c2sint)e2

22dyx?y?1? dxx?y2?3答案： (x-y+1)dx-(x+y2+3)dy=0

xdx-(ydx+xdy)+dx-y2dy-3dy=0即所以

1d2-d(xy)+dx-13-3dy=0

dyx23121x?xy?x?y3?3y?C 23

三、证明题（共160分）

1、（12分）证明如果?（t）是x?Ax满足初始条件?(t0)??的解，那么 ?(t)?e/?A(t?t0)??。

证明：设?(t)的形式为?(t)=eAtC（1）（C为待定的常向量）