随机过程知识点

随机过程复习

以概率1成立的充要条件为

1T??2Tlimlim??1???T??TT??BX(?)d??0 ?若X(t)为实平稳过程，则上式变为

1T????1??BX(?)d??0 T??T?0?T?定理 6.13 对于均方连续平稳过程{X(t),0?t??}，等式

1Tl.i.m?X(t)X(t??)dt?RX(?) T??T0以概率1成立的充要条件为

1T??1lim?1?T??T??TT?其中B(?1)与（6.16）式相同。

?2??d?1?0 B(?)?R(?)??1X??若X(t)为实平稳过程，则上式变为

1T??1??2?d?1?0 1?B(?)?R(?)1X?????0T??T?T?lim第七章 平稳过程的谱分析

§7.1 平稳过程的谱密度

设X(t) 是均方连续随机过程，作截尾随机过程

?X(t),|t|?T XT?t????0,|t|?T?TXT(t)e?i?tdt??XT(t)e?i?tdt…………..(7.4) ???T

因为XT?t? 均方可积，故存在傅式变换

Fx(?,T)??利用帕塞伐公式及傅式反变换，可得

?2T221?X(t)dt?x(t)dt?F?,Td? ??X???T??T?2???定义7.1 设 ?X(t),???t??? 为均方连续随机过程，称

?1T2?2??limE??X(t)dt?

T???2T?T?为 X(t) 的平均功率，称

21?sX(?)?limEFx??,T??

??T??2T为 X(t) 的功率谱密度，简称谱密度。

当 X(t) 是平稳均方连续函数时，由于EX(t)是与t无关的常数，利用均方积分的性质可以将（7.5）式简化得

?2??1T2? X(t)dt???TT???2T?1T22????limEX(t)dt?EX(t)??Rx?0? ……….. (7.8) ??????TT??2T?2?limE?由（7.8）式和（7.5）式看出，平稳过程的平均功率等于该过程的均方值，或等于它的谱密

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度在频域上的积分，即

?2?1?SX???d? ………………. (7.9) ?2???n???定义7.2 设{Xn,n?0,?1,?2,?}是平稳随机序列，若相关函数满足则称

???RX(n)??

sX(?)?n????RX(n)e?in?,(??????)

为{Xn,n?0,?1,?2,?}的谱密度。

§7.2谱密度的分析

频率谱密度，SX???具有下列性质： （1） 若

设 ?X(t),???t??? 为均方连续平稳过程，RX(?)为它的相关函数，SX???为它的

????RX???d???，则SX???是RX(?)的傅式变换，即

?SX?????RX???e?i?td? ………. (7.12)

??(2) SX???是?的实的,非负的偶函数。

(3) 当 SX???是?有理函数时，其形式必为

其中

a2n?2n?a2n?2?2n?2?.....?a0sx(?)?2n

??b2m?2?2m?2?......?b0a2n?i,b2m?j(i?0,2,?,2n;j?2,4,?,2m)为常数，且a2n?0，

m?n，分母无实根。

§7.3 窄带过程及白噪声过程的功率谱密度

定义1 设 ?X?t?,???t???为实值平稳过程，若它的均值为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即sX????N0????????则称X?t?为白噪声过程。

具有下列性质的函数称为?函数：

x?0,?(1) ??x???0, (2) ?,x?0;?????x?dx?1

?函数有一个非常重要的运算性质，即抽样性质。对任何连续函数f?x?，有

????f?x???x?dx?f?0?, (7.15)

??Td?x?f?. T?x???x§7.4 联合平稳过程的互谱密度

定义7.4 设X?t?和Y?t?是两个平稳过程，且它们是联合平稳的(平稳相关的)，若它们的互相关函数RXY???满足????RXY???d???,则称RXY???的傅氏变

或

????f换

?i??sXY??????d? ………………….(7.21) ??RXY???e 18

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是X?t?与Y?t?的互功率谱密度，简称互谱密度。

因此互谱密度sYX???与互相关函数RYX???的关系如下： sYX?????12????RYX???e?i??d?,

???YXRYX????互谱密度具有下列性质：

?s???ei??d?

⑴ sXY????sYX???，即sXY???与sYX???互为共轭；

⑵ Re??sYX??????sXY?????和Re??sYX?????是ω的偶函数，而Im??sXY?????和Im?是ω的奇函数；

⑶ sXY???与sX???和sY???满足下列关系式： s2XY????sX???s?Y?? ⑷若X?t?和Y?t?相互正交，则sXY????sYX????0

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